trigonomeetriline ring on raadiusega 1 tähistatud ring Karteesia lennuk. Selles on horisontaaltelg koosinus ja vertikaaltelus siinustelg. Seda võib nimetada ka trigonomeetriliseks tsükliks.
Seda kasutatakse trigonomeetriliste suhete uuringu läbiviimiseks. Sellega on võimalik paremini mõista peamisi trigonomeetrilisi põhjuseid nurgad suurem kui 180º, nimelt: siinus, koosinus ja puutuja.
Loe ka: 4 kõige tavalisemat viga trigonomeetrias
Trigonomeetrilise ringi ehitamiseks samm-sammult
Trigonomeetrilise ringi moodustamiseks kasutame kahte telge, üks vertikaalne ja teine horisontaalne, nagu ristkülikukujuline tasapind. Horisontaaltelge tuntakse koosinus telg, ja vertikaaltelge tuntakse siinustelg.
Telgede ehitusega joonistame 1 raadiusega ringi graafiku.
Trigonomeetrilised suhted ringis
Kasutame ringi väärtuse leidmiseks siinus, koosinus ja puutuja, vastavalt nurga väärtusele. sisse vertikaalteljel siinusväärtus ja horisontaalteljel koosinusväärtus
, määrates trigonomeetrilisele ringile nurga, on siinuse ja koosinuse väärtuse leidmine võimalik analüüsida selle punkti koordinaadid, kus sirglõik ühendab ringi keskpunkti ja ümbermõõtu, mida kujutab P pildil a järgi. Kui joonistame punkti (1.0) ringjoone puutujajoone, saame ka pildi järgi analüütiliselt arvutada selle nurga puutuja:
Loe ka: Mis on sekant, kosekant ja kotangent?
Trigonomeetrilised ringradiaanid
Me teame, et kaare saab mõõta kahe erineva mõõtühiku abil: mõõt kraadides ja mõõde radiaanid. Me teame seda ümbermõõt on 360º ja et teie kaare pikkus on 2π:
Trigonomeetrilise ringi kvadrandid
Kas radiaanides või kraadides, on selle mõõtmise järgi võimalik määratleda ruut, milles antud kaar asub.
Tsüklit analüüsides peame:
esimene kvadrant: nurgad, mis jäävad vahemikku 0 kuni 90 ° või 0 kuni π / 2 radiaani;
teine kvadrant: nurgad, mis jäävad vahemikku 90 ° kuni 180 ° või π / 2 ja π radiaanid;
kolmas kvadrant: nurgad, mis jäävad vahemikku 180º kuni 270º või π kuni 3 π / 2 radiaani;
neljas kvadrant: nurgad, mis jäävad vahemikku 270 ° kuni 360 ° või 3π / 2 ja 2π radiaani.
Loe ka: Plaani omadused ja omadused
Tähelepanuväärsed nurgad trigonomeetrilises ringis
Uuringu alguses trigonomeetria, saime teada, et märkimisväärsed nurgad on 30º, 45º ja 60º nurgad, millel on teadaoleva siinuse, koosinuse ja puutuja väärtus. Kuid trigonomeetrilise tsükli sümmeetria tõttu nende nurkade ja sümmeetriliste nurkade jaoks on võimalik leida siinus- ja koosinusväärtused talle igas kvadrandis.
Trigonomeetrilised ringmärgid
Et mõista, mis on tsükli iga trigonomeetrilise suhte märk, piisab telje väärtuste analüüsimisest Dekartese tasandil.
Alustame koosinusest. Kuna tegemist on horisontaalteljega, on vertikaalteljest paremale jäävate nurkade koosinus positiivne ja vertikaalteljest vasakule jäävate nurkade koosinus on negatiivne.
Nurga siinusmärgi mõistmiseks pidage lihtsalt meeles, et vertikaaltelg on siinustelg, seega horisontaaltelje kohal oleva nurga siinus on positiivne; kuid kui nurk on horisontaalteljest allpool, on selle nurga siinus negatiivne, nagu on näidatud järgmisel pildil:
Me teame seda puutuja on siinuse ja koosinus suhe, siis iga kvadrandi puutuja märgi leidmiseks mängime märgimängu, mis muudab puutuja positiivsetes paaritu ruutudes ja negatiivseks paaris ruutudes:
Loe ka: Mis on pool sirge, pool tasapinnaline ja poolruum?
sümmeetria ringis
Analüüsides trigonomeetrilist tsüklit, on võimalik konstrueerida viis siinuse, koosinuse ja puutuja vähendamiseks esimesele kvadrandile. See vähendamine tähendab esimese kvadrandi nurga leidmist, mis on sümmeetriline teiste kvadrandide nurga suhtes, sest kui töötame sümmeetrilise nurga all, on trigonomeetriliste suhete väärtus sama, muutes ainult selle signaal.
2. kvadrandi nurga vähendamine 1. kvadrandini
Alustades nurkadest, mis asuvad teises kvadrandis, peame:
Nagu teame, on siinus 1. ja 2. kvadrandis positiivne. Niisiis, siinuse redutseerimise arvutamiseks teisest kvadrandist kuni 1. kvadrandini kasutame valemit:
sin x = patt (180º - x)
2. kvadrandi koosinus ja puutuja on negatiivsed. Koosinuse vähendamiseks 2. kvadrandist 1. kvadrandini kasutame valemit:
cosx = - cos (180º - x)
tg x = - tg (180º - x)
Näide:
Mis on siinuse ja koosinuse väärtus nurga 120 ° juures?
120 ° nurk on kvadrandiline teine nurk, kuna see jääb vahemikku 90 ° kuni 180 °. Selle nurga vähendamiseks 1. kvadrandini arvutame:
patt 120 ° = patt (180 ° - 120 °)
patt 120º = patt 60º
60 ° nurk on tähelepanuväärne nurk, seega on selle siinusväärtus teada, seega:
Nüüd arvutame teie koosinuse:
cos 120º = - cos (180-120)
cos 120º = - cos 60º
Kuna teame koosinust 60º, peame:
Kolmanda kvadrandi nurga vähendamine 1. kvadrandini
Nagu 2. kvadrandis, on ka 3. kvadrandi nurkade ja 1. kvadrandi nurkade vahel sümmeetria.
Kolmanda kvadrandi siinus ja koosinus on negatiivsed. Seega, siinuse ja koosinuse vähendamiseks kolmandast kvadrandist esimeseks kvadrandiks kasutame valemit:
sin x = - patt (x - 180º)
cosx = - cos (x - 180º)
3. kvadrandi puutuja on positiivne. Selle vähendamiseks kasutame valemit:
tg x = tg (x - 180º)
Näide:
Arvutage siinus, koosinus ja puutuja 225º.
patt 225º = - patt (225–180º)
patt 225º = - patt 45º
Kuna 45º on tähelepanuväärne nurk, peame tabeliga tutvumisel:
Kosinuse arvutamisel peame:
tg 225º = tg (225–180º)
tg 225º = tg 45º
Me teame, et tg45º = 1, seega:
tg 225º = 1
Neljandas kvadrandis oleva nurga vähendamine 1. kvadrandini
Sama põhjendusega nagu eelmised vähendused, on 4. ja 1. kvadrandi vahel sümmeetria:
4. kvadrandi siinus- ja puutujaväärtused on negatiivsed. Niisiis, vähenduse tegemiseks neljandast kuni 1. kvadrandini kasutame valemit:
sin x = - patt (360º - x)
tg x = - tg (360º - x)
Koosinus 4. kvadrandis on positiivne. Niisiis, vähendamiseks 1. kvadrandini on valem:
cos x = cos (360º - x)
Näide:
Arvutage siinuse ja koosinuse väärtuseks 330º.
Alustades siinusest:
Kosinuse arvutamine:
Loe ka: Kuidas arvutada kahe ruumipunkti vaheline kaugus?
Trigonomeetrilise ringiga lahendatud harjutused
küsimus 1 - Ringmomendi uurimisel analüüsis füüsik objekti, mis pöörles enda ümber, moodustades nurga 15 240º. Selle nurga analüüsimisel on selle moodustatud kaar:
A) I kvadrant
B) II kvadrant.
C) kvadrant III.
D) IV kvadrant.
E) ühe telje peal.
Resolutsioon
Alternatiiv B.
Me teame, et iga 360 ° ulatuses on see objekt teinud ringi enda ümber. Kui täidate jaotus 15 240-st 360-st leiame, kui palju täielikke pöördeid see objekt enda ümber on teinud, kuid meie peamine huvi on ülejäänud, mis tähistab nurka, mille juures see peatus.
15.240: 360 = 42,333…
Tulemus näitab, et ta tegi enda ümber 42 pööret, kuid 360 · 42 = 15,120, seega jättis ta nurga:
15.240 – 15.120 = 120º
Me teame, et 120 ° on kvadrandi teine nurk.
2. küsimus - Hinnake palun järgmisi väiteid:
I → tg 140º arvutamisel on väärtus negatiivne.
II → 200 ° nurk on teise kvadrandi nurk.
III → Sen 130º = patt 50º.
Märkige õige alternatiiv:
A) Ainult mina olen vale.
B) Ainult II on vale.
C) Ainult III on vale.
D) Kõik on tõesed.
Resolutsioon
Alternatiiv B.
I → Tõsi, kuna 140º nurk kuulub teisele kvadrandile, kus puutuja on alati negatiivne.
II → Vale, kuna 200 ° nurk on 3. kvadrandi nurk.
III → Tõsi, kuna nurga vähendamiseks 2. ja 1. kvadrandi vahel arvutage lihtsalt vahe 180 ° - x, seejärel:
patt 130 ° = patt (180 ° - 130 °)
patt 130. = patt 50.
Autor Raul Rodrigues de Oliveira
Matemaatikaõpetaja
Allikas: Brasiilia kool - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simetria-no-circulo-trigonometrico.htm
