Trigonomeetrilised võrrandid on võrdsused, mis hõlmavad tundmatute kaaride trigonomeetrilisi funktsioone. Nende võrrandite lahendamine on ainulaadne protsess, mis kasutab redutseerimise tehnikaid lihtsamateks võrranditeks. Vaatame vormi mõisted ja võrrandite definitsioonid cosx = a.
Trigonomeetrilistel võrranditel kujul cosx = α on lahused vahemikus –1 ≤ x ≤ 1. Seda tüüpi võrrandit rahuldavate x väärtuste määramine järgib järgmist omadust: Kui kahel kaarel on võrdsed koosinus, siis on need ühised või üksteist täiendavad..
Olgu x = α võrrandi cos x = α lahendus. Teised võimalikud lahendused on kaarega α või kaarega α (või kaarega 2π - α) ühtivad kaared. Niisiis: cos x = cos α. Pange tähele esitust trigonomeetrilises tsüklis:
Jõudsime järeldusele, et:
x = α + 2kπ, k Є Z-ga või x = - α + 2kπ, k Є Z-ga
Näide 1
Lahendage võrrand: cos x = √2 / 2.
Trigonomeetriliste suhete tabelist vastab que2 / 2 nurkale 45º. Siis:
cos x = √2 / 2 → cos x = π / 4 (π / 4 = 180º / 4 = 45º)
Seega on võrrandi cosx = √2 / 2 lahenduseks kõik kaared, mis on ühtlased kaarega π / 4 või –π / 4 või isegi 2π - π / 4 = 7π / 4. Pange tähele illustratsiooni:
Järeldame, et võrrandi cos x = √2 / 2 võimalikud lahendid on:
x = π / 4 + 2kπ, kus k Є Z või x = - π / 4 + 2kπ, kus k Є Z
Näide 2
Lahendage võrrand: cos 3x = cos x
Kui 3x ja x kaared on omavahel kooskõlas:
3x = x + 2kπ
3x - x = 2kπ
2x = 2kπ
x = kπ
Kui 3x ja x kaar täiendavad üksteist:
3x = –x + 2kπ
3x + x = 2kπ
4x = 2kπ
x = 2kπ / 4
x = kπ / 2
Võrrandi cos 3x = cos x lahendus on {x Є R / x = kπ või x = kπ / 2, kusjuures k Є Z}.
autor Mark Noah
Lõpetanud matemaatika
Allikas: Brasiilia kool - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-tipo-cos-x-a.htm