Polünoomi lagunemise teoreem

Algebra põhiteoreem polünoomvõrrandid tagab selle "igal astmel polünoom n ≥ 1 on vähemalt üks keeruline juur ". Selle teoreemi tõestas matemaatik Friedrich Gauss 1799. aastal. Sellest saame näidata polünoomi lagunemise teoreem, mis tagab, et iga polünoomi saab lagundada esimese astme teguriteks. Võtke järgmine polünoom p (x) klassi n ≥ 1 ja_ei ≠ 0:

p (x) = a_ei x^ei +_n-1 x^n-1 +… +₁x¹ +₀

Algebra põhiteoreemi kaudu võime öelda, et sellel polünoomil on vähemalt üks keeruline juur. u₁, selline, et p (u₁) = 0. O D'Alemberti teoreem Euroopa polünoomide jagunemine nendib, et kui p (u₁) = 0, siis p (x) on jagatav (x - u₁), mille tulemuseks on jagatis mida₁(x), mis on kraadi polünoom (n - 1), mis paneb meid ütlema:

p (x) = (x - u₁). mida₁(x)

Sellest võrrandist tuleb välja tuua kaks võimalust:

Kui u = 1 ja mida₁(x) on kraadi polünoom (n - 1)siis mida₁(x) on kraad 0. Kuna domineeriv koefitsient on p (x) é The_ei, mida₁(x) on konstantne tüüpi polünoom mida₁(x)=The_ei. Nii et meil on:

p (x) = (x - u₁). mida₁(x)
(x) = (x - u₁). The_ei
p (x) = a_ei . (x - u₁)

Aga kui u ≥ 2, siis polünoom mida₁ on kraad n - 1 ≥ 1 ja algebra põhiteoreem kehtib. Võime öelda, et polünoom mida₁ on vähemalt üks juur ei₂, mis sunnib meid seda ütlema mida₁ saab kirjutada järgmiselt:

mida₁(x) = (x - u₂). mida₂(x)

Aga kuidas p (x) = (x - u₁). mida₁(x), saame selle ümber kirjutada järgmiselt:

p (x) = (x - u₁). (x - u₂). mida₂(x)

Seda protsessi järjest korrates on meil:

p (x) = a_ei. (x - u₁). (x - u₂)… (X - u_ei)

Seega võime järeldada, et iga polünoom või polünoomvõrrand p (x) = 0 klassi n ≥ 1 oma täpselt ei keerukad juured.​

Näide: Ole p (x) kraadi polünoom 5, nii et selle juured on – 1, 2, 3, – 2 ja 4. Kirjutage see polünoom jaotatuna 1. astme teguriteks, arvestades domineeriv koefitsient võrdne 1. See peab olema kirjutatud laiendatud kujul:

kui – 1, 2, 3, – 2 ja 4 on polünoomi juured, nii et erinevuste korrutis x iga selle juure tulemuseks on p (x):

p (x) = a_ei. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)

Kui domineeriv koefitsient The_ei = 1, meil on:

p (x) = 1. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x² - x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x³ - 4x² + x + 6). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x⁴ - 2x³ - 7x² + 8x + 12). (X - 4)
p (x) = x⁵ - 6x⁴ + x³ + 36x² - 20x - 48

Autor Amanda Gonçalves
Lõpetanud matemaatika

Allikas: Brasiilia kool - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm