Maatriks: mis see on, tüübid, toimingud, näited

THE peakorter seda kasutatakse tavaliselt tabeliandmete korrastamiseks probleemide lahendamise hõlbustamiseks. Maatriksiteave, olenemata sellest, kas see on numbriline või mitte, on paigutatud korralikult ridadesse ja veergudesse.

Maatriksite komplekt, mis on varustatud operatsiooniga lisamine, lahutamine ja korrutamine ja tunnused moodustavad neutraalse ja pöördelemendina matemaatilise struktuuri, mis võimaldab seda rakendada erinevates valdkondades sellest suurest teadmiste piirkonnast.

Vaadake ka: Maatriks- ja lineaarsete süsteemide seos

Maatriksi esitus

Enne maatriksite uurimise alustamist on vaja koostada mõned märkused nende esituste kohta. Kell maatriksid on alati tähistatud suurtähtedega. (A, B, C…), millele on lisatud indeksid, milles esimene number tähistab ridade arvu ja teine ​​veergude arvu.

THE ridade arv (horisontaalsed read) ja veerud (vertikaalsed read) maatriks määrab selle tellimus. Maatriksil A on järjestus m võrra n. Massiivis sisalduvat teavet nimetatakse elemendid ja on paigutatud sulgudesse, nurksulgudesse või kahte vertikaalsesse riba, vt näiteid:

Maatriksil A on kaks rida ja kolm veergu, seega on selle järjestus kaks kolm → A_2x3.

Maatriksil B on üks rida ja neli veergu, seega on selle järjestus ükshaaval, nii et seda nimetatakse joonmaatriks → B_1x4.

Maatriksil C on kolm rida ja üks veerg ja nii seda nimetatakse veeru maatriks ja selle järjestus on kolm ühekaupa → C_3x1.

Me võime massiivi elemente üldiselt esindada, see tähendab, et saame selle elemendi kirjutada matemaatilise esituse abil. Oüldelementi tähistatakse väiketähtedega (a, b, c ...) ja nagu massiividel, on sellel ka indeks, mis näitab selle asukohta. Esimene number tähistab rida, milles element asub, ja teine ​​number näitab veergu, kus see asub.

Vaatleme järgmist maatriksit A, loetleme selle elemendid.

Jälgides esimest elementi, mis asub esimeses reas ja esimeses veerus, see tähendab reas esimene ja veerg, on meil number 4. Kirjutamise hõlbustamiseks tähistame seda järgmiselt:

The₁₁ → joone üks element, veerg esimene

Nii et meil on maatriksi A järgmised elemendid_2x3:

The₁₁ = 4

The₁₂ =16

The₁₃ = 25

The₂₁ = 81

The₂₂ = 100

The₂₃ = 9

Üldiselt võime massiivi kirjutada selle üldiste elementide funktsioonina, see on üldmaatriks.

M rida ja n veergu maatriksit tähistab:

• Näide

Määrake maatriks A = [a_ij ]_2x2, mille koolitusseadus on_ij = j² - 2i. Avalduse andmetest järeldub, et maatriks A on järjestuses kaks korda, see tähendab, et sellel on kaks rida ja kaks veergu, seega:

Lisaks anti maatriksi moodustamise seadus, see tähendab, et iga element on seosega rahul_ij = j² - 2i. Asendades valemis i ja j väärtused, on meil:

The₁₁ = (1)² - 2(1) = -1

The₁₂ = (2)² - 2(1) = 2

The₂₁ = (1)² - 2(2) = -3

The₂₂ = (2)² - 2(2) = 0

Seetõttu on maatriks A:

Massiivi tüübid

Mõni maatriks väärib erilist tähelepanu, vaata nüüd neid massiivide tüübid näidetega.

• ruutmaatriks

Maatriks on ruut, kui ridade arv võrdub veergude arvuga. Me tähistame A-ga maatriksit, millel on n rida ja n veergu_ei (loe: järjestuse n ruutmaatriks).

Ruutmaatriksites on meil kaks väga olulist elementi diagonaalid: peamine ja sekundaarne. Peamise diagonaali moodustavad elemendid, millel on võrdsed indeksid, see tähendab, et see on iga element a_ij kus i = j. Sekundaarse diagonaali moodustavad elemendid a_ij kus i + j = n +1, kus n on maatriksjärjestus.

• identiteedimaatriks

Identiteedimaatriks on ruutmaatriks, millel on kõiksinapõhidiagonaali elemendid on võrdsed 1-ga ja muud 0-ga võrdsed elemendid, selle moodustamise seadus on:

Tähistame seda maatriksit I-ga, kus n on ruutmaatriksi järjekord, vt mõnda näidet:

• ühiku maatriks

See on järjestusega ruutmaatriks, see tähendab, et sellel on rida ja veerg ning seetõttu ainult üks element.

A = [-1]_1x1, B = I₁ = (1)_1x1 ja C = || 5 ||_1x1

Need on näited ühikmaatriksitest, rõhuasetusega maatriksil B, milleks on a ühiku identiteedi maatriks.

• nullmaatriks

Massiivi peetakse nulliks, kui kõik selle elemendid on nulliga võrdsed. Me tähistame nulljärjestuse m nullmaatriksit n-ga O-ga_mxn.

Maatriks O on nulljärku 4 null.

• vastupidine maatriks

Vaatleme kahte võrdse järku maatriksit: A = [a_ij]_mxn ja B = [b_ij]_mxn. Neid maatrikseid nimetatakse vastupidisteks ja ainult siis, kui_ij = -b_ij. Seega vastavad elemendid peavad olema vastandarvud.

Võime esindada maatriksit B = -A.

• ülekantud maatriks

Kaks maatriksit A ​​= [a_ij]_mxn ja B = [b_ij]_nxm nemad on üle võetud siis ja ainult siis, kui_ij = b_ji , st kui maatriks A on antud, siis selle leidmiseks võtke read lihtsalt veergudena.

Maatriksi A transpositsiooni tähistatakse A-ga^T. Vaadake näidet:

Näe rohkem: Pöördmaatriks: mis see on ja kuidas seda kontrollida

Maatriksioperatsioonid

N x m maatriksi üldine esitus.

Maatriksite komplektil on aväga täpselt määratletud liitmine ja korrutamine, see tähendab, et kui opereerime kahte või enamat maatriksit, kuulub operatsiooni tulemus ikkagi maatriksite hulka. Kuidas on aga lahutamisoperatsiooniga? Me mõistame seda toimingut kui liitmise pöördmaatriksit (vastupidine maatriks), mis on samuti väga täpselt määratletud.

Enne toimingute määratlemist mõistame nende ideid vastav element ja maatriksite võrdsus. Vastavad elemendid on need, mis hõivavad erinevates maatriksites sama positsiooni, see tähendab, et nad asuvad samas reas ja veerus. Ilmselt peavad massiivid sobituvate elementide olemasolu jaoks olema samas järjekorras. Vaata:

Elemendid 14 ja -14 on vastandmaatriksite A ja B vastavad elemendid, kuna nad hõivavad sama positsiooni (sama rida ja veerg).

Kaks maatriksit on võrdsed siis ja ainult siis, kui vastavad elemendid on võrdsed. Seega, arvestades maatriksit A ​​= [a_ij]_mxn ja B = [b_ij]_mxn, on need samad siis ja ainult siis, kui_ij = b_ij mis tahes i j.

• Näide

Teades, et maatriksid A ja B on võrdsed, määrake x ja t väärtused.

Kuna maatriksid A ja B on võrdsed, peavad vastavad elemendid olema võrdsed, seega:

x = -1 ja t = 1

• Maatriksite liitmine ja lahutamine

Operatsioonid maatriksite liitmine ja lahutamine need on üsna intuitiivsed, kuid kõigepealt peab tingimus olema täidetud. Nende toimingute tegemiseks on kõigepealt vaja kontrollida, kas massiivi tellimused on võrdsed.

Kui see tingimus on kontrollitud, toimub maatriksi liitmine ja lahutamine maatriksite vastavate elementide liitmise või lahutamise teel. Vaatleme maatriksit A ​​= [a_ij]_mxn ja B = [b_ij]_mxn, siis:

A + B = [a_ij + b_ij] _mxn

A - B = [a_ij - B_ij] _mxn

• Näide

Mõelge allpool olevatele maatriksitele A ja B, määrake A + B ja A - B.

Loe ka: Koguarvu toimingud

• Reaalarvu korrutamine maatriksiga

Maatriksi reaalarvu (tuntud ka kui maatriksi korrutamine) korrutamine skalaariga saadakse maatriksi iga elemendi korrutamisel skalaariga.

Olgu A = [a_ij]_mxn maatriks ja t reaalarv, seega:

t · A = [t · a_ij]_mxn

Vaadake näidet:

• Maatriksi korrutamine

Maatriksite korrutamine pole nii tühine kui nende liitmine ja lahutamine. Enne korrutamist tuleb tingimus täita ka maatriksite järjekorra osas. Mõelgem maatriksitele A_mxn ja B_nxr.

Korrutamise teostamiseks esimese maatriksi veergude arv peab olema võrdne teise rea ridade arvuga. Korrutamise tulemusel saadud maatriksil on järjestus, mis antakse rea ridade arvuga teises ja veergude arvuna teises.

Maatriksite A ja B korrutamiseks tuleb korrutada kõik read kõigi veergudega järgmiselt: esimene element A korrutatakse B esimese elemendiga ja lisatakse seejärel A teisele elemendile ning korrutatakse B teise elemendiga ja nii järjestikku. Vaadake näidet:

Loe ka: Laplace'i teoreem: tea, kuidas ja millal kasutada

Harjutused lahendatud

küsimus 1 - (U. JA. Londrina - PR) Olgu maatriksid A ja B vastavalt 3 x 4 ja p x q ning kui maatriksil A · B on järjestus 3 x 5, siis on tõsi, et:

a) p = 5 ja q = 5

b) p = 4 ja q = 5

c) p = 3 ja q = 5

d) p = 3 ja q = 4

e) p = 3 ja q = 3

Lahendus

Meil on väide, et:

THE_3x4 · B_pxq = C_3x5

Tingimusest kahe maatriksi korrutamiseks on see, et korrutis on olemas ainult siis, kui esimese veergude arv on võrdne teise rea ridade arvuga, seega p = 4. Ja me teame ka, et korrutusmaatriksi annab rea ridade arv esimeses ja veergude arv teises, nii et q = 5.

Seetõttu p = 4 ja q = 5.

V: Alternatiiv b

2. küsimus - (Vunesp) Määrake x, y ja z väärtused järgmise võrdsuse korral, hõlmates 2 x 2 reaalset maatriksit.

Lahendus

Teostame massiivide vahelised toimingud ja seejärel nende vahelise võrdsuse.

X, y ja z väärtuse määramiseks lahendame lineaarse süsteemi. Esialgu lisame võrrandid (1) ja (2).

2x - 4 = 0

2x = 4

x = 2

Valemist (3) leitud x väärtuse asendamiseks on meil:

2² = 2z

2z = 4

z = 2

Ja lõpuks, asendades võrrandites (1) või (2) leitud väärtused x ja z, on meil:

x + y - z = 0

2 + y - 2 = 0

y = 0

Seetõttu annab ülesande lahendi S = {(2, 0, 2)}.

autor Robson Luiz
Matemaatikaõpetaja