Et toimingud komplektidega need on liit, ristmik ja erinevus. Kõigi nende toimingute tulemuseks on uus komplekt. Hulkadevahelise ühenduse tähistamiseks kasutame sümbolit ∪; ristmiku jaoks tähis ∩; ja erinevuse jaoks sümbol lahutamine\(-\). Erinevuste korral on oluline jälgida operatsiooni läbiviimise järjekorda. Teisisõnu, kui A ja B on hulgad, siis A ja B erinevus erineb B ja A erinevusest.
Loe ka: Venni diagramm — hulkade ja nendevaheliste tehtete geomeetriline esitus
Tehte kokkuvõte komplektidega
Tehted hulkadega on: liit, ristmik ja erinevus.
Hulkade A ja B liit (või kohtumine) on hulk A ∪ B, mille moodustavad A-sse või B-sse kuuluvad elemendid.
\(A∪B=\{x; x∈A\ või\ x∈B\}\)
Hulkade A ja B ristumiskohaks on hulk A ∩ B, mille moodustavad A-sse ja B-sse kuuluvad elemendid.
\(A∩B=\{x; x∈A\ ja\ x∈B\}\)
Hulkade A ja B erinevus on hulk A – B, mille moodustavad A-sse kuuluvad ja B-sse mittekuuluvad elemendid.
\(A -B =\{x; x∈A\e\x∉B\}\)
Kui U (tuntud kui universumi hulk) on hulk, mis sisaldab kõiki antud kontekstis olevaid hulki, siis erinevust U – A, mille A ⊂ U, nimetatakse A täiendiks. A täiendi moodustavad elemendid, mis A-sse ei kuulu ja mida esindab
Aw.
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Videotund komplektidega operatsioonidest
Millised on kolm komplekti kuuluvat tehet?
Kolm operatsiooni komplektidega on: liit, ristmik ja erinevus.
Komplektide liit
Hulkade A ja B liit (või kohtumine) on hulk A ∪ B (loe "Liit B"). See komplekt koosneb kõigist komplekti A kuuluvatest elementidest või kuuluvad hulka B, st elemendid, mis kuuluvad vähemalt ühte komplekti.
Esitades A ∪ B elemente x-ga, kirjutame
\(A∪B=\{x; x∈A\ või\ x∈B\}\)
Alloleval pildil on oranž piirkond seatud A ∪B.
Tundub raske? Vaatame kahte näidet!
Näide 1:
Mis on hulk A ∪ B, kui A = {7, 8} ja B = {12, 15}?
Hulga A ∪ B moodustavad A-sse kuuluvad elemendid või kuuluvad B-le. Kuna elemendid 7 ja 8 kuuluvad hulka A, siis peavad mõlemad kuuluma hulka A ∪ B. Lisaks, kuna elemendid 12 ja 15 kuuluvad hulka B, peavad mõlemad kuuluma hulka A ∪ B.
Seetõttu
A ∪ B={7, 8, 12, 15}
Pange tähele, et iga A∪B element kuulub kas hulka A või hulka B.
Näide 2:
Vaatleme hulkasid A = {2, 5, 9} ja B = {1, 9}. Mis on hulk A ∪ B?
Kuna elemendid 2, 5 ja 9 kuuluvad hulka A, siis peavad nad kõik kuuluma hulka A∪B. Lisaks, kuna elemendid 1 ja 9 kuuluvad hulka B, peavad nad kõik kuuluma hulka A ∪ B.
Pange tähele, et mainisime 9 kaks korda, kuna see element kuulub komplekti A ja hulka B. Öeldes, et "hulk A ∪ B on moodustatud A-sse kuuluvatest elementidest või kuuluvad B-sse” ei välista elemente, mis kuuluvad samaaegselt hulka A ja B.
Nii et selles näites on meil
A ∪ B={1, 2, 5, 9}
Pange tähele, et me kirjutame elemendi 9 ainult üks kord.
Hulkade ristumiskoht
Hulkade A ja B ristumiskohaks on hulk A ∩ B (loe "Ristumine B"). See komplekt koosneb kõigist komplekti A kuuluvatest elementidest see on kuuluvad komplekti B. Teisisõnu, A ∩ B koosneb hulkade A ja B ühistest elementidest.
Märkides A ∩ B elemente x-ga, kirjutame
\(A∩B=\{x; x∈A\ ja\ x∈B\}\)
Alloleval pildil on oranž piirkond seatud A ∩B.
Lahendame kaks näidet hulkade ristumiskoha kohta!
Näide 1:
Olgu A = {-1, 6, 13} ja B = {0, 1, 6, 13}. Mis on hulk A ∩ B?
Hulga A ∩ B moodustavad kõik hulka A kuuluvad elemendid see on kuuluvad komplekti B. Pange tähele, et elemendid 6 ja 13 kuuluvad samaaegselt hulka A ja B.
Nagu nii,
A ∩ B={6, 13}
Näide 2:
Mis on hulkade A = {0,4} ja ristumispunkt \(B={-3,\frac{1}2,5,16,44}\)?
Pange tähele, et komplektide A ja B vahel pole ühist elementi. Seega on ristmik elementideta hulk ehk tühi hulk.
Seetõttu
\(\)A ∩ B={ } = ∅
Erinevus komplektide vahel
Hulkade A ja B erinevus on hulk A – B (loe “A ja B erinevus”). See komplekt koosneb kõik elemendid, mis kuuluvad hulka A ja ei kuulu hulka B.
Kujutades A – B elemente x-ga, kirjutame
\(A-B=\{x; x∈A\ ja\ x∉B\}\)
Alloleval pildil on oranž piirkond komplekt A – B.
Tähelepanu: hulkade A ja B erinevus ei ole hulkade B ja A erinevus, sest B – A moodustavad kõik hulka B kuuluvad elemendid, mis hulka A ei kuulu.
Vaatleme kahte allolevat näidet komplektide erinevuste kohta.
Näide 1:
Kui A = {-7, 2, 100} ja B = {2, 50}, siis milline on hulk A – B? Aga komplekt B – A?
KomplektA-B koosneb kõigist hulka A kuuluvatest elementidest see onei kuuluvad komplekti B. Pange tähele, et 2 on ainuke element komplektis A, mis kuulub ka hulka B. Seega 2 ei kuulu hulka A – B.
Seetõttu
A–B = {–7, 100}
Lisaks moodustavad hulga B – A kõik hulka B kuuluvad elemendid see onei kuuluvad komplekti A. Seetõttu
B – A = {50}
Näide 2:
Mis vahe on hulgal A = {–4, 0} ja hulgal B = {–3}?
Pange tähele, et ükski A element ei kuulu B-sse. Seega on vahe A – B hulk A ise.
\(A - B = \{-4,0\} = A\)
Vaatlus: Mõelge, et U (nimetatakse universumi hulgaks) on hulk, mis sisaldab antud olukorras kõiki teisi hulki. Nagu nii, erinevus U–A, koos A⊂U, on komplekt, mida nimetatakse A komplementaarseks ja kujutatud kui \(B.C\).
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Järgmisel pildil on ristkülik universumi hulk ja oranž piirkond universumi komplekt \(B.C\).
Tea rohkem: Samm-sammult, kuidas teha jagamist
Lahendas harjutusi komplekttehte kohta
küsimus 1
Vaatleme hulkasid A = {–12, –5, 3} ja B = {–10, 0, 3, 7} ning klassifitseerige iga alljärgnev väide T (tõene) või F (vale).
I. A ∪ B = {–12, –10, –5, 3, 7}
II. A ∩ B = {3}
III. A – B = {–12, –5}
Õige järjestus, ülalt alla, on
A) V-V-V
B) F-V-V
C) V-F-V
D) F-F-V
E) F-F-F
Resolutsioon
I. Vale.
Element 0 peab kuuluma A ja B liitu, kuna 0 ∈ B. Seega A ∪ B = {–12, –10, –5, 0, 3, 7}
II. Tõsi.
III. Tõsi.
Alternatiiv B.
2. küsimus
Vaatleme A = {4, 5}, B = {6,7} ja C = {7,8}. Siis on hulk A ∪ B ∩ C
A) {7}.
B) {8}.
C) {7, 8}.
D) {6,7,8}.
E) {4, 5, 6, 7, 8}.
Resolutsioon
Pange tähele, et A ∪ B = {4, 5, 6, 7}. Seetõttu on hulk A ∪ B ∩ C ristumiskoht väärtuste A ∪ B = {4, 5, 6, 7} ja C = {7,8} vahel. Varsti
A ∪ B ∩ C = {7}
Alternatiiv A.
Allikad
LIMA, Elon L.. Analüüsikursus. 7 ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1992. v.1.
LIMA, Elon L. et al. Keskkooli matemaatika. 11. toim. Matemaatikaõpetajate kogu. Rio de Janeiro: SBM, 2016. v.1.
