Seda tuntakse kui ratsionaalarv iga see number saab kujutada taandamatu murdena. Kogu inimkonna ajaloo vältel on arvu ideed järk-järgult välja töötatud vastavalt inimese vajadustele. Näiteks arvude kujutamine murdudes lahendas ülesandeid, mis lahendati ainult täisarvud.
Ratsionaalset arvu saab esitada murdosast, seega on täisarvude teisendamiseks meetodeid, kümnendarvud täpsed ja perioodilised kümnendkohad murdosades.
Loe ka: Operatsioonid murdudega - kuidas lahendada?
Mis on ratsionaalsed arvud?
Ratsionaalarvud on täisarvude hulga laiendamine, siis lisati lisaks täisarvudele kõik murrud. O seatud ratsionaalarvude arvu esindab:
See esitus ütleb, et arv on ratsionaalne, kui seda saab esitada murdena The umbes B, selline, et The on täisarv ja B on nullist erinev täisarv. Kuid kui tahame ratsionaalarvusid vähem rangelt määratleda, võime öelda järgmist:
Ratsionaalarvud on kõik arvud, mida saab esitada murdosana. |
Vastake sellele määratlusele:
sina täisarvuds, näiteks: -10, 7, 0;
sina täpsed kümnendarvudnäiteks: 1,25; 0,1; 3,1415;
kell lihtsad perioodilised kümnisednäiteks: 1.424242…;
kell liitperioodilised kümnisednäiteks: 1.0288888…
Ei on ratsionaalsed arvud:
Kell mitteperioodilised kümnisednäiteks: 4 1239489201…;
Kell juuredpole täpne, näiteks:
;- THE konniz ruut negatiivsed arvud, näiteks:
.
Vaatlus: Mitteratsionaalsete arvude olemasolu põhjustab teiste hulkade tekkimist, näiteks irratsionaalsed arvud ja kompleksarvud.
Ratsionaalarvude kujutamine
Mõistmine, et murd on a jaotus kahest täisarvust, et olla ratsionaalne arv, saate seda numbrit esitada murdosana. Seetõttu saab kõiki eespool ratsionaalarvudena nimetatud juhtumeid (täisarvud, täpsed kümnendkohad ja perioodilised kümnendkohad) esitada murdosana.
täisarvud
Täisarvu murdosana esitamiseks on lõpmatuid võimalusi, kuna murdosa saab esitada taandamatul kujul või mitte.
Näited:
täpsed kümnendkohad
Täpse kümnendarvu muutmiseks a murdosa, loendame arvude arvu selle kümnendkohas, see tähendab pärast koma. Kui koma järel on arv, kirjutame täisosa pluss kümnendosa ilma komata üle 10. Kui kümnendkohas on kaks numbrit üle 100, on tegelikkuses kümnendkohas olevate arvude arv nullide summa, mis meil on nimetavas. Vaadake näidet:
perioodiline kümnis
Kümnise murdosa kujutise leidmine pole alati lihtne ülesanne, mida me nimetame tekitades murdosa. Selle töö hõlbustamiseks täheldati, et võrrandis, mida kasutasime genereeriva osa leidmiseks, on seaduspärasusi, mis võimaldasid välja töötada praktilise meetodi.
Esiteks peame mõistma, et perioodilisi kümniseid on kahte tüüpi, lihtne ja liit. Üks kümnis on lihtne kui kümnendkohas on ainult see osa, mis kordub, see tähendab periood. Üks kümnis on liit kui selle kümnendkohas on mitteperioodiline osa.
Näide:
9,323232... → lihtne perioodiline kümnendkoht
Täisarv võrdub 9-ga.
Periood on võrdne 32-ga.
8,7151515… → perioodiline kümnis
Täisarv võrdub 8-ga.
Mitteperioodiline kümnendosa on võrdne 7.
Periood on võrdne 15-ga.
Vaadake ka: Ekvivalentsed fraktsioonid - sama palju esindavad fraktsioonid
→ 1. juhtum: genereeritakse murdosa lihtsast perioodilisest kümnendkohast
Esimesel juhul muuta lihtne perioodiline kümnendarv murdosaks praktilise meetodi abil kirjutage lihtsalt kogu osa pluss koma ilma lugejata. Nimetisse lisame perioodilise osa iga elemendi jaoks 9.
Näide:
Genereeriva murdosa 9,323232…, nagu nägime, periood on võrdne 32-ga, see tähendab kahe arvuga selle perioodil, nii et nimetaja on 99. Täisosa, millele lisandub perioodiline osa ilma komata, on 932, mis on lugeja. Niisiis on selle kümnise tekitav osa:
→ 2. juhtum: perioodilise liit komakoha murdosa genereerimine
Perioodiline liitkümnis on veidi vaevalisem. Leiame näites kümnise genereeriva osa, mille kallal me töötasime.
8,7151515… → liitperioodiline kümnendkoht.
Täisarv võrdub 8-ga.
Mitteperioodiline kümnendosa on võrdne 7.
Perioodi kümnendosa on võrdne 15-ga.
Lugeja saab olema lahutamine 8715 - 87, see tähendab erinevus selle arvu vahel, mis läheb tervest osast perioodilisse ossa kümnise kordumatu osaga.
Lugeja on võrdne 8715 - 87 = 8628.
Nimetaja leidmiseks analüüsime kümnendosa. Kõigepealt vaatame mitteperioodilist ja perioodilist kümnendosa. Sellisel juhul on arvu kümnendkoht 715. Lisame iga perioodilise osa numbri jaoks a 9 nimetaja alguses. Kuna antud juhul on perioodilisel osal kaks numbrit (15), on nimetavas kaks 9. Iga kümnendkoha numbri jaoks, mis pole perioodiline, lisame a 0 nimetaja lõpus, mis saab olema 990.
Varsti tekitades murdosa kümnist on:
Ratsionaalarvude omadused
Kahe ratsionaalse arvu vahel on alati veel üks ratsionaalne number
Huvitav on mõelda selle vara kohta, mida iidsed rahvad palju arutasid, muutudes paradoksiks. Valides kaks ratsionaalset numbrit, jääb nende vahel alati arv.
Näide:
Ajavahemikus 1 kuni 2 on 1,5; vahemikus 1 kuni 1,5 on 1,25; 1 ja 1,25 vahel on 1,125 ja nii edasi. Nii palju kui ma valin kaks ratsionaalset numbrit, mille vahel on väga väike erinevus, on nende vahel alati võimalik leida ratsionaalne arv. See vara teeb järglast ja eelkäijat on võimatu määratleda ratsionaalsetes arvudes.
Ratsionaalarvude hulga neli toimingut on suletud
Me ütleme, et komplekt on selle jaoks suletud summanäiteks kui kahe ratsionaalse arvu summa genereerib vastuseks alati teise ratsionaalse arvu. Nii juhtub Q-s nelja operatsiooniga.
THE liitmine, lahutamine, jagamine ja korrutamine kahe ratsionaalse arvu vahel saadakse alati ratsionaalne arv. Tegelikult isegi potentseerimine ratsionaalse arvu arv genereerib vastuseks alati ratsionaalse arvu.
Ratsionaalsete arvude hulk pole suletud kiirgus. Seega mkuna 2 on ratsionaalne arv, on 2 ruutjuur a irratsionaalne number.
Vaadake ka: Ekvivalentsed fraktsioonid - sama palju esindavad fraktsioonid
Ratsionaalsete arvude alamhulgad
Me teame kuidas alamhulgad või kaasamise seos ratsionaalsete arvude hulka kuuluvate elementide poolt moodustatud kogumitega. Võimalikke alamhulki on mitu, täisarvude hulgana või loomulik, sest iga täisarv on ratsionaalne, nii nagu iga loomulik arv on ratsionaalne.
Näide:
Täisarvude komplekt: Z = {… -3, -2, -1, 0,1, 2, 3, ...}.
Kui see juhtub, ütleme seda Z ⸦ Q (See kõlab: Z sisaldub Q-s või täisarvude hulk ratsionaalsete arvude komplektis.)
Q alamhulkade loomiseks on hädavajalikud sümbolid: +, - ja *, mis tähendavad vastavalt positiivset, negatiivset ja nullist erinevat.
Näited:
Q * → (loeb: nullist erinevate ratsionaalsete arvude komplekt.)
Q+ → (loeb: positiivsete ratsionaalsete arvude komplekt.)
Q- → (loeb: negatiivsete ratsionaalsete arvude kogum.)
Q*+ → (loeb: positiivsete ja nullist erinevate ratsionaalsete arvude komplekt.)
Q*- → (loeb: negatiivsete ja nullist erinevate ratsionaalsete arvude kogum.)
Pange tähele, et kõik need hulgad on Q alamhulgad, kuna kõik elemendid kuuluvad ratsionaalsete arvude hulka. Lisaks esitatavatele hulkadele saame Q-s töötada ka mitme alamhulgaga, näiteks paaritu arvuga moodustatud hulga või nõod, või paaridena, lõpuks on alamhulkade võimalusi mitu.
Autor Raul Rodrigues de Oliveira
Matemaatikaõpetaja
Allikas: Brasiilia kool - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-racionais.htm
