Me teame kuidas polünoom avaldis, mis näitab mittesarnaste monomiaalide algebralist summat, see tähendab polünoom üks algebraline avaldis monomallide vahel. Monomeerium on algebraline termin, millel on koefitsient ja sõna otsene osa.
Kui polünoomide vahel on sarnased mõisted, on võimalik seda teha selle tingimuste vähendamine kahe polünoomi liitmisel või lahutamisel. Jaotava omaduse kaudu on võimalik korrutada ka kahte polünoomi. Jagamine toimub võtmete meetodil.
Loe ka: Polünoomvõrrand - võrrand, mida iseloomustab polünoomi võrdsus 0-ga
Mis on monomiaalid?
Polünoomi mõistmiseks on oluline kõigepealt mõista monomiumi tähendust. Algebralist avaldist tuntakse monoomiumina, kui see on olemas numbrid ja tähed ning nende eksponendid eraldatud ainult korrutamisega. Numbrit tuntakse koefitsiendina ning tähti ja nende eksponente tuntakse sõna otseses osas.
Näited:
2x² → 2 on koefitsient; x² on sõna otsene osa.
√5ax → √5 on koefitsient; kirves on sõna otseses mõttes.
b³yz² → 1 on koefitsient; b³yz² on sõna otsene osa.
Mis on polünoom?
Polünoom pole midagi muud kui monomeeride algebraline summasee tähendab, et need on rohkem monomiaalid, mis on eraldatud üksteisest liitmise või lahutamise teel.
Näited:
ax² + poolt + 3
5c³d - 4ab + 3c²
-2ab + b - 3xa
Üldiselt võib polünoomil olla mitu mõistet, seda esindab algebraliselt:
Theeixei +(n-1) x(n-1) +… +2x² + a1x + a
Vaadake ka: Millised on polünoomide klassid?
polünoomi aste
Polünoomi astme leidmiseks eraldame selle kaheks juhuks, kui sellel on üks muutuja ja kui on rohkem muutujaid. Polünoomi astme annab mõlemal juhul suurimate monomaalide aste.
Üsna tavaline on töötada polünoomiga, millel on ainult üks muutuja. Kui see juhtub, O suurem monoomium kraadi mis näitab kraadi polünoomi on võrdne muutuja suurima eksponendiga:
Näited:
Ühe muutujaga polünoomid
a) 2x² - 3x³ + 5x - 4 → pange tähele, et muutuja on x ja selle suurim eksponent on 3, seega on tegemist 3. astme polünoomiga.
b) 2a5 + 4y² - 2y + 8 → muutuja on y ja suurim eksponent on 5, seega on tegemist 5. astme polünoomiga.
Kui polünoomil on monoomis rohkem kui üks muutuja, on selle termini astme leidmiseks vajalik lisama-kui iga muutuja eksponentide aste. Seega on polünoomi aste sel juhul endiselt võrdne suurima monomiumi astmega, kuid on vaja hoolitseda iga monomi muutujate eksponentide lisamise eest.
Näited:
a) 2x + 4x2y3 - 5a4
Analüüsides iga termini sõnasõnalist osa, peame:
xy → 2. klass (1 + 1)
x²y³ → kraad 5 (2 + 3)
y³ → 3. klass
Pange tähele, et suurimal terminil on 5. aste, seega on see 5. kraadi polünoom.
b) 8a²b - ab + 2a²b²
Iga monomiumi sõnasõnalise osa analüüsimine:
a²b → 3. klass (2 + 1)
ab² → 2. aste (1 + 1)
a²b² → 4. klass (2 + 2)
Seega on polünoomil 4. aste.
Polünoomide lisamine
Et liitmine kahe polünoomi vahel, teeme sarnaste monoomide vähendamine. Kaks monomiaali on sarnased, kui neil on võrdsed sõnasõnalised osad. Kui see juhtub, on polünoomi võimalik lihtsustada.
Näide:
Olgu P (x) = 2x² + 4x + 3 ja Q (x) = 4x² - 2x + 4. Leidke P (x) + Q (x) väärtus.
2x² + 4x + 3 + 4x² - 2x + 4
Sarnaste terminite (millel on samad sõnasõnalised osad) leidmine:
2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4
Lisame nüüd sarnased monomallid:
(2 + 4) x² + (4-2) x + 3 + 4
6x² + 2x +7
Polünoomide lahutamine
Lahutamine ei erine palju liitmisest. Oluline detail on see kõigepealt peame kirjutama vastupidise polünoomi enne sarnaste terminite lihtsustamist.
Näide:
Andmed: P (x) = 2x² + 4x + 3 ja Q (x) = 4x² - 2x + 4. Arvutage P (x) - Q (x).
Polünoom -Q (x) on Q (x) vastand, et leida Q (x) vastand, pöörake lihtsalt iga selle termini märk ümber, nii et peame:
-Q (x) = -4x2 + 2x-4
Siis arvutame välja:
P (x) + (-Q (x))
2x² + 4x + 3 - 4x² + 2x - 4
Sarnaste tingimuste lihtsustamiseks on meil:
(2 - 4) x² + (4 + 2) x + (3 - 4)
-2x² + 6x + (-1)
-2x² + 6x - 1
Polünoomide korrutamine
Kahe polünoomi korrutamiseks kasutame tuntud jaotav vara kahe polünoomi vahel, tehes esimese polünoomi monoomide korrutamise teise omaga.
Näide:
Olgu P (x) = 2a² + b ja Q (x) = a3 + 3ab + 4b². Arvutage P (x) · Q (x).
P (x) · Q (x)
(2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²)
Jaotava omaduse rakendamisel on meil:
2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b²
2.5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² + 4b³
Kui need on olemas, saame lihtsustada sarnaseid termineid:
2.5 + 6a³b + 8a²b² + ab + 3ab² + 4b³
Pange tähele, et ainsad sarnased monomaalid on oranžiga esile tõstetud, nende vahel lihtsustades saame vastuseks järgmise polünoomi:
2.5 + (6 + 1) a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
2.5 + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
Juurdepääs ka: Kuidas teha algebralist murdude korrutamist?
polünoomjaotus
sooritama polünoomide jagunemine võib olla üsna vaevaline, kasutame seda, mida nimetatakse võtmete meetod, kuid selleks on mitu meetodit. Kahe polünoomi jagunemine see on võimalik ainult siis, kui jagaja aste on väiksem. Jagades polünoomi P (x) polünoomiga D (x), otsime polünoomi Q (x), nii et:
Seega jagamisalgoritmi järgi on meil: P (x) = D (x) · Q (x) + R (x).
P (x) → dividend
D (x) → jagaja
Q (x) → jagatis
R (x) → ülejäänud
Jaotise käitamisel jagatakse polünoom P (x) polünoomiga D (x), kui ülejäänud on null.
Näide:
Tegutseme jagades polünoom P (x) = 15x² + 11x + 2 polünoomiga D (x) = 3x + 1.
Soovime jagada:
(15x² + 11x + 2): (3x + 1)
1. samm: jagasime dividendi esimese monomiumi jagaja esimesega:
15x2: 3x = 5x
2. samm: korrutame 5x · (3x + 1) = 15x² + 5x ja lahutame P (x) tulemuse. Lahutamise teostamiseks on vaja korrutada korrutustulemuse märgid, leides polünoom:
3. samm: teostame lahutamistulemuse esimese termini jagamise jaguri esimese astmega:
6x: 3x = 2
4. samm: nii et meil on (15x² + 11x + 2): (3x + 1) = 5x + 2.
Seetõttu peame:
Q (x) = 5x + 2
R (x) = 0
Loe ka: Briot-Ruffini praktiline seade - polünoomide jagamine
Harjutused lahendatud
Küsimus 1 - Mis peaks olema m väärtus, et polünoom P (x) = (m² - 9) x³ + (m + 3) x² + 5x + m oleks 2?
A) 3
B) -3
C) ± 3
D) 9
E) -9
Resolutsioon
Alternatiiv A
P (x) astme 2 saamiseks peab koefitsient x³ olema võrdne nulliga ja koefitsient x² peab olema nullist erinev.
Nii et teeme:
m² - 9 = 0
m² = 9
m = ± 9
m = ± 3
Teiselt poolt on meil see m + 3 ≠ 0.
Niisiis, m ≠ -3.
Seega on esimese võrrandi lahendusena, et m = 3 või m = -3, teise puhul aga m ≠ -3, seega on ainus lahendus, mis muudab P (x) astmeks 2: m = 3.
2. küsimus - (IFMA 2017) Joonise ümbermõõdu saab kirjutada polünoomiga:
A) 8x + 5
B) 8x + 3
C) 12 + 5
D) 12x + 10
E) 12x + 8
Resolutsioon
Alternatiiv D
Kujutise põhjal teame, kui analüüsime antud pikkust ja laiust, et perimeeter on kõigi külgede summa. Kuna pikkus ja kõrgus on samad, korrutame antud polünoomide summa lihtsalt 2-ga.
2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 (6x + 5) = 12x + 10
Autor Raul Rodrigues de Oliveira
Matemaatikaõpetaja
