arvutama faktoriaal arvul on mõte ainult siis, kui töötame looduslike arvudega. See toiming on aastal üsna tavaline kombinatoorne analüüs, hõlbustades järjestuste, permutatsioonide, kombinatsioonide ja muude loendamisega seotud probleemide arvutamist. Faktoorium on tähistatud sümboliga "!". Määratleme selle n-na! (n faktoriaal) kuni n korrutamine kõigi eelkäijatega kuni jõuate 1-ni. ei! = n · (n - 1) · (n - 2) ·… · 3 · 2 · 1.
Loe ka: Loendamise aluspõhimõte - kombinatoorse analüüsi põhimõte
Mis on faktoriaal?
Factorial on kombinatoriaalse analüüsi uurimiseks ja arendamiseks väga oluline operatsioon. Matemaatikas järgneb arv, millele järgneb hüüumärk (!) on tuntud kui faktoriaal, näiteks x! (x faktoriaal).
Me teame kui faktorit a loomulik arv The korrutades selle arvu eelkäijatega, välja arvatud null, st:
ei! = n · (n-1) · (n-2)… 3,2 × 1 |
On märkimisväärne, et selle operatsiooni mõistlikuks n on loomulik arv, see tähendab, et me ei arvuta negatiivse arvu või isegi kümnendarvu või murdarvude faktoriaali.
faktoriaalarvutus
Numbri faktori leidmiseks arvutage lihtsalt korrutis. Pange tähele ka seda, et faktoriaal on toiming, mis millal n väärtust suurendades kasvab ka tulemus palju.
Näited:
4! =4 · 3 · 2 · 1 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
7! = 7· 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
Definitsiooni järgi on meil:
0! = 1
1! = 1
Faktoriaaloperatsioonid
Faktooritoimingute lahendamiseks on oluline olla ettevaatlik ja mitte teha vigu. Kui me ühendame, lahutame või korrutame kaks faktoriali, on vaja igaüks neist eraldi arvutada. Ainult divisjonil on konkreetsed viisid lihtsustuste teostamiseks. Ärge tehke seda viga, kui teete operatsiooni ja hoiate faktooriumikas liitmiseks ja lahutamiseks või korrutamiseks.
2! + 3! ≠ 5!
4! · 2! ≠ 12!
7! – 5! ≠ 2!
Nende toimingute lahendamisel peame arvutama iga faktoori.
Näited:
a) 2! + 3! = (2 · 1) + (3 · 2 · 1) = 2 + 6 = 8
b) 4! · 2! = (4 · 3 · 2 · 1) · (2 · 1) = 24 · 2 = 48.
c) 7! - 5! =(7 · 6· 5· 4 · 3 · 2 · 1) - (5· 4 · 3 · 2 · 1) = 5040 – 120 = 4920.
Vaadake ka: Kuidas lahendada võrrand faktoriaaliga?
Faktooriline lihtsustamine
Jagamised on üsna korduvad. Valemites kombinatsioon, korrastamine ja kordamine, kasutame faktoriaalsete probleemide lahendamiseks alati lihtsustamist. Selleks järgime mõnda sammu.
Näide:
1. samm: tehke kindlaks suurim tehaste arv - antud juhul on see 8! Nüüd, kui analüüsime nimetajat, milleks on 5!, kirjutame selle eelkäijate 8 korrutuse, kuni jõuame 5-ni !.
Numbri faktori, see tähendab n!, Saab ümber kirjutada n korrutisena k-ni! Seega
ei! = n · (n -1) · (n- 2) ·… · k!, kirjutame siis 8 ümber! meeldib korrutamine 8-lt 5-le !.
8! = 8 · 7 · 6 · 5!
Kirjutame põhjuse ümber järgmiselt:
2. samm: pärast põhjust, on võimalik loendurit nimetajaga lihtsustada, kuna 5! see on nii lugeja kui nimetaja sees. Pärast lihtsustamist tehke lihtsalt korrutamine.
Näide 2:
Kombinatoriaalne ja tegurianalüüs
Kui täidate Kombinatoorses analüüsis uurides ilmub alati arvu faktorial. Kombinatoriaalse analüüsi peamised rühmitused, milleks on permutatsioon, kombinatsioon ja paigutus, kasutavad oma valemites arvu faktoriaali.
Permutatsioon
THE permutatsioon ja hulga kõigi elementide järjekorra muutmine. Permutatsiooni arvutamiseks lähtume faktoriaalsest, kuna n elemendi permutatsioon arvutatakse järgmiselt:
Pei = n!
Näide:
Kui palju anagrammid kas saame ehitada nimega HEITOR?
See on tüüpiline permutatsiooniprobleem. Kuna nimes on 6 tähte, arvutage võimalike anagrammide arvu arvutamiseks lihtsalt P6.
P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
Juurdepääs ka: Permutatsioon korduvate elementidega: kuidas seda lahendada?
Korraldus
Arvutama korraldused see nõuab ka numbri faktori valdamist. Korraldus, nagu permutatsioon, on ümberjärjestamise moodustamine. Erinevus on korralduses korraldame osa komplektist ümbersee tähendab, et me tahame teada, kui palju võimalikke ümberkorraldusi saame moodustada, valides ühest suuruse k seatud n elemendiga.
Näide:
Ettevõttes on asutust juhtima 6 kandidaati ning kaks valitakse direktori ja asedirektori ametikohale. Kui palju on tulemusi, teades, et nad valitakse hääletamise teel?
Sellisel juhul arvutame kuue paigutuse 2-lt 2-le, kuna kahele vabale kohale on 6 kandidaati.
Kombinatsioon
Kombinatsioonis, nagu ka teistes, on vaja valdada numbri faktoori. Me määratleme kui kombinatsioon sina komplekti alamhulgad. Erinevus seisneb selles, et kombinatsioonis ümberjärjestamist ei toimu, sest järjekord pole oluline. Seega arvutame, mitu k elemendiga alamhulka saame moodustada n elemendi hulgast.
Näide:
Klassi esindama valitakse 3 õpilasest koosnev komisjon. Kui palju komisjone saab moodustada, teades, et kandidaate on 5?
Loe ka: Kokkulepe või kombinatsioon?
lahendatud harjutused
Küsimus 1 - Arvu faktori kohta hinnake järgmisi väiteid.
I). 0! + 1! = 2
II). 5! - 3! = 2!
III) 2! · 4! = 8
A) Ainult mina olen tõsi.
B) Ainult II vastab tõele.
C) Ainult III vastab tõele.
D) Tõesed on ainult mina ja II.
E) Ainult II ja II on tõesed.
Resolutsioon
Alternatiiv A.
I) Tõsi.
0! = 1
1! = 1
0! + 1! = 1+1 = 2
II) Vale.
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
3! = 3 · 2 · 1 = 6
5! – 3! = 120 – 6 = 114
III) Vale.
2! = 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 · 1= 24
2. küsimus - (UFF) Kas toode 20 · 18 · 16 · 14… · 6 · 4 · 2 on samaväärne?
A) 20: 2
B) 2 · 10!
C) 20: 210
D) 210· 10!
E) 20!: 10!
Resolutsioon
Alternatiiv D
Vaadates kõigi paarisarvude 2 kuni 20 korrutist, teame, et:
20 = 2 · 10
18 = 2 · 9
16 = 2 · 8
14 = 2 · 7
12 = 2 · 6
10 = 2 · 5
8 = 2 · 4
6 = 2 · 3
4 = 2 · 2
2 = 2 · 1
Nii saame ümber kirjutada kui 210 · 10 · 9 · … ·2 · 1 = 210 · 10!
Autor Raul Rodrigues de Oliveira
Matemaatikaõpetaja
