Sina kompleksarvud tulenevad vajadusest lahendada võrrandid kellel on negatiivse arvu juur, mida seni polnud võimalik arvudega töötades lahendada. Kompleksseid numbreid saab esitada kolmel viisil: a algebraline vorm (z = a + bi), mis koosneb reaalsest osast The ja kujuteldav osa B; The Geomeetriline vorm, esindatud keerulises tasapinnas, tuntud ka kui Argand-Gaussi lennuk; ja sinu trigonomeetriline vorm, tuntud ka kui polaarvorm. Nende kujutamise põhjal, kuna me töötame arvulise hulga abil, on kompleksarvudel täpselt määratletud toimingud: liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine ja võimendamine.
Geomeetrilise kujutise kaudu komplekstasandil määratleme ka mooduli (mida tähistab |z|) kompleksarvu - mis on kaugus kompleksnumbrit tähistavast punktist päritoluni - ja mis on a argument kompleksarv - mis on nurk, mis moodustub horisontaaltelje ja raja vahel, mis ühendab alguspunkti numbrit tähistava punktiga keeruline.
vajadus kompleksarvude järele
Matemaatikas oli arvulise hulga laiendamine uueks komplektiks kogu ajaloo vältel üsna tavaline nähtus. Nii juhtub, et selle käigus on matemaatika arenenud ja siis ka
vastama aja vajadustele, märgati, et oli numbreid, mis ei kuulunud numbrikomplekti, millele see viitas. Nii see tekkis numbrilised komplektid täisarvud, ratsionaalsed, irratsionaalsed ja reaalarvud ning see ei olnud teisiti, kui tekkis vajadus laiendada reaalarvude kogumit kompleksarvude hulka.Kui proovime lahendada ruutvõrrandid, on üsna tavaline, et leiame negatiivse arvu ruutjuur, mida reaalarvude komplektis on võimatu lahendada, sellest tuleneb vajadus kompleksarvude järele. Nende arvude uurimise alguses said kaastööd olulised matemaatikud, näiteks Giralmo Cardono, kuid nende komplekti vormistasid Gauss ja Argand.
Loe ka: Kompleksarvude summa geomeetriline esitus
kompleksarvu algebraline vorm
Ruutvõrrandi nagu x² = –25 lahendamisel öeldi, et see on sageli lahendamatu. Algebriiseerida püüdes aga algebraline esitus, mis võimaldab nende arvudega toiminguid teha, kuigi te ei saa arvutada negatiivse arvu ruutjuuri.
Et hõlbustada lahendamist olukordades, kus te töötate ruutjuur negatiivse arvu korral kujuteldav üksus.
Analüüsides võrrandit x² = -25, on meil järgmine:
Seega on võrrandi lahendid -5i e5i.
Algebralise vormi määratlemiseks kiri i, tuntud kui kompleksarvu kujuteldav ühik. Kompleksarvu tähistab:
z = The + Bi
Mille peale The ja B on reaalarvud.
Need: reaalosa, mida tähistab a = Re (z);
B: kujuteldav osa, tähistatud Im (z);
i: kujuteldav üksus.
Näited
) 2 + 3i
B) -1 + 4i
ç) 5 – 0,2i
d) -1 – 3i
kui tegelik osa on null, number on tuntud kui puhas kujuteldavnäiteks -5i ja 5i nad on puhas kujutlusvõime, sest neil pole tegelikku osa.
Kui kujuteldav osa on null, on kompleksarv ka reaalarv.
Kompleksarvudega toimingud
Nagu iga numbrikomplekt, peavad ka toimingud olema hästi määratletud, seetõttu on kompleksarvude neli põhitoimingut võimalik teostada, võttes arvesse esitatud algebralist vormi.
Lisades kaks kompleksarvu
Et teostada lisamine kahest kompleksarvust z1 ja z2, võtame kokku z tegeliku osa1 ja z2 ja vastavalt väljamõeldud osa summa.
Ole:
z1 = a + bi
z2 = c + di
z1 +z2 = (a + c) + (b + d)i
Näide 1
Z summa realiseerimine1 ja z2.
z1 = 2 + 3i
z2 = 1 + 2i
z1 +z2= (2 + 1) + (3 + 2)i
z1 +z2= 3 + 5i
Näide 2
Z summa realiseerimine1 ja z2.
z1 = 5 – 2i
z2 = – 3 + 2i
z1+z2 = (5 + (–3)) + (–2 + 2)i
z1+z2 = (5 – 3) + 0i
z1 +z2= 3 + 0i = 3
Vaadake ka: Kompleksarvude summa geomeetriline esitus
Kahe kompleksarvu lahutamine
Enne kui räägime lahutamine, peame määratlema, mis on kompleksarvu pöördarv, see tähendab, et z = a + bi. Z pöördväärtus, mida tähistab –z, on kompleksarv –z = –a –bi.
Z-i lahutamise teostamiseks1ja -z2, samuti lisaks sellele teeme lahutamine reaalosade ja väljamõeldud osade vahel eraldi, kuid on vaja mõista seda -z2 see on kompleksarvu pöördvõrdeline arv, mille tõttu on vaja mängida märkemängu.
Näide 1
Z lahutamise sooritamine1 ja z2.
z1 = 2 + 3i
z2 = 1 + 2i
z1–z2 = (2 – 1) + (3 – 2)i
z1–z2= 1 + 1i = 1+ i
Näide 2
Z lahutamise sooritamine1 ja z2.
z1= 5 – 2i
z2 = – 3 + 2i
z1–z2= (5 – (–3)) + (–2 – 2)i
z1–z2= (5 + 3) + (–4)i
z1 –z2= 8 + (–4)i
z1 –z2= 8 –4i
Kujuteldavad üksuse jõud
Enne kui räägime korrutamisest, peame mõistma kujuteldava üksuse jõudu. Otsides meetodit võimsuste arvutamiseks iei, tuleb mõista, et need jõud käituvad tsükliliselt. Selle jaoks arvutame mõned välja potentsi aastal i.
Selgub, et järgmised jõud pole midagi muud kui selle kordamine, pange tähele, et:
i 4 = i 2 · i 2 = (–1) (–1) = 1
i 5 = i 2 · i 3 = (–1) (–i) = i
Kui jätkame võimsuste arvutamist, on vastused alati hulga {1, i, –1, - elemendidi}, seejärel seadme võimsuse leidmiseks iei, jagame n (eksponendi) 4-ga ja puhataselle jaotuse (r = {0, 1, 2, 3}) on domeeni uus eksponent i.
Näide1
I arvutamine25
Kui jagame 25 4-ga, on jagatis 6 ja ülejäänud võrdub 1-ga. Seega peame:
i 25 = i1 = i
Näide 2
Kalkulatsiooni arvutamine i 403
Kui jagame 403 4-ga, on jagatis 100, sest 100 · 4 = 400 ja ülejäänud on 3, seega peame:
i 403 =i 3 = -i
Kompleksarvude korrutamine
Kahe kompleksarvu korrutamiseks rakendame jaotav vara. Ole:
z1= a + bi
z2= c + di, siis toode:
z1 · z2 = (a + bi) (c + di), rakendades turustusomandit,
z1 · z2 = ac + reklaami + cbi + bdi 2, aga nagu me nägime, i ² = -1
z1 · z2 = ac + reklaami + cbi - bd
z1 · z2= (ac – bd) + (ad + cb)i
Selle valemi abil on võimalik leida mis tahes kahe kompleksarvu korrutis, kuid a-s Üldiselt ei pea seda kaunistama, kuna kõnealuse arvutuse jaoks rakendame lihtsalt vara levitav.
Näide
(2 + 3. Korrutise arvutaminei) (1 – 4i):
(2+3i) (1 – 4i) = 2 – 8i + 3i– 12i ², seda meenutades i² = -1:
(2 + 3i) (1 – 4i) = 2 – 8i + 3i+ 12
(2 + 3i) (1 – 4i) = (2 + 12) + (– 8 + 3)i
(2+3i) (1 – 4i) = 14 – 5i
Juurdepääs ka: Kompleksarvude liitmine, lahutamine ja korrutamine
Kompleksarvude konjugaat
Enne jagamisest rääkimist peame mõistma, mis on kompleksarvu konjugaat. Mõiste on lihtne, lihtsalt kompleksarvu konjugaadi leidmiseks vahetamamos kujuteldava osa märk.
kahe kompleksarvu jagamine
Et teostada kahe kompleksarvu jagamine, peame murdosa korrutama nimetaja konjugaadiga, nii et see, mis on tegelik osa ja mis kujuteldav osa, oleks hästi määratletud.
Näide
(6 - 4. Jagamise arvutaminei): (4 + 2i)
Vaadake ka: Kompleksarvude vastand, konjugaat ja võrdsus
Komplekstasand ehk Argand-Gaussi tasapind
Tuntud kui keeruline plaan või Plaanrgand-gauss, lubab ta esitus geomeetrilises vormis keerulise arvu korral on see plaan kohandatud Karteesia lennuk kompleksarvude tähistamiseks. Horisontaaltelge tuntakse reaaltelg Re (z), ja vertikaaltelge tuntakse kujuteldava osa telg Im (z). Nii et kompleksarv, mida tähistab a + bi genereerib järjestatud paari (a, b) moodustatud komplekstasandi punktid.
Näide
Numbri 3 + 2 kujutaminei geomeetrilises vormis Z (3,2).
Kompleksarvu moodul ja argument
Kompleksarvu moodul geomeetriliselt on kaugus punktist (a, b) mis tähistab seda arvu komplekstasandil päritoluniehk punkt (0,0).
Nagu näeme, | z | on hüpotenuus täisnurkne kolmnurk, seetõttu saab selle arvutada, kasutades Pythagorase teoreem, nii et peame:
Näide:
Mooduli z = 1 + 3 arvutaminei
O Theargument kompleksarvu geomeetriliselt on nurk moodustub horisontaalteljest ja | z |
Nurga väärtuse leidmiseks peame:
Eesmärk on leida nurk θ = arg z.
Näide:
Leidke kompleksarvu argument: z = 2 + 2i:
Kuna a ja b on positiivsed, teame, et see nurk on esimeses kvadrandis, seega arvutame | z |.
| Z | teades on võimalik arvutada siinus ja koosinus.
Kuna antud juhul on a ja b võrdsed 2-ga, leiame sinθ arvutamisel sama lahenduse ka koosinusele.
Teades sinθ ja cosθ väärtusi, vaadates tähelepanuväärsete nurkade tabelit ja teades seda θ kuulub esimesse kvadranti, nii et θ leidub kraadides või radiaanides, seega järeldame mida:
Trigonomeetriline või polaarne vorm
Kompleksnumbri esitamine trigonomeetriline vorm see on võimalik alles pärast seda, kui oleme mõistnud mooduli ja argumentide mõistet. Selle esituse põhjal töötatakse välja kompleksarvude uurimiseks kõrgemal tasemel olulised mõisted. Trigonomeetrilise kujutise tegemiseks meenutame selle algebralist vormi z = a + bi, kuid komplekstasandi analüüsimisel peame:
Algebralises vormis asendades a = | z | väärtused cos θ ja b = | z | sen θ, peame:
z = a + bi
Kui z = | z | cos θ + | z | senθ i, paneb | z | tõendina jõuame trigonomeetrilise vormi valemini:
z = | z | (cos θ + i · Patt θ) |
Näide: Kirjutage trigonomeetrilises vormis number
Trigonomeetrilisel kujul kirjutamiseks vajame z-i argumenti ja moodulit.
1. samm - | z | arvutamine
| Z | teades on märkimisväärsete nurkade tabelist lähtudes võimalik leida θ väärtus.
Nüüd on võimalik arv z kirjutada trigonomeetrilisel kujul nurk kraadides või radiaanides mõõdetud nurk.
Loe ka: Kompleksarvude kiirgus trigonomeetrilisel kujul
lahendatud harjutused
Küsimus 1 - (UFRGS) Arvestades kompleksarvusid z1 = (2, –1) ja z2 = (3, x), on teada, et väärtus z1 ja z2 on reaalarv. Seega on x võrdne järgmisega:
a) -6
b) -3/2
c) 0
d) 3/2
e) 6
Resolutsioon
Alternatiiv D
Et toode oleks reaalarv, võrdub kujuteldav osa nulliga.
Kirjutades need numbrid algebralises vormis, peame:
z1 = 2 – 1i ja z2 = 3 + xi
z1 · Z2 = (2 – 1i) (3 + xi)
z1 · Z2 = 6 + 2xi –3i - xi ²
z1 · Z2 = 6 + 2xi –3i + x
z1 · Z2 = 6+ x + (2x - 3)i
Kuna meie huvi on, et kujuteldav osa oleks võrdne nulliga, siis lahendame 2x - 3 = 0 korral
2. küsimus - (UECE) Kui i on kompleksarv, mille ruut on võrdne -1, siis väärtus 5i 227 + i 6 – i 13 see on sama mis:
) i + 1
b) 4i –1
c) -6i –1
d) -6i
Resolutsioon
Alternatiiv C.
Selle avaldise lahendamiseks on vaja leida kõigi arvude ülejäänud osa jagades 4-ga.
227: 4 tulemuseks on jagatis 56 ja ülejäänud 3.
i 227 = i 3 = –i
6: 4 tulemuseks on jagatis 1 ja ülejäänud 2.
i 6 = i 2 = –1
13: 4 tulemuseks on jagatis 3 ja ülejäänud 1.
i 13 = i1 = i
Seega peame:
5i 227 + i 6 – i 13
5 (–i) + (–1) – i
–5i –1 – i
–6i – 1
Autor Raul Rodrigues de Oliveira
Matemaatikaõpetaja
Allikas: Brasiilia kool - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm
