Hüperbool. hüperbooli määratlus

Mis on hüperbool?
Definitsioon: Olgu F1 ja F2 kaks punkti tasapinnal ja olgu 2c nende vaheline kaugus, hüperbool on hulk punktid tasapinnal, mille F1 ja F2 kauguste erinevus (moodulis) on konstant 2a (0 <2a <2c).
Hüperbooli elemendid:

F1 ja F2 → on hüperbooli fookused
→ on hüperbooli keskus
2c → fookuskaugus
2. → reaalse või põiki telje mõõtmine
2b → kujuteldava telje mõõtmine
c / a → ekstsentrilisus
A, b ja c → c vahel on seos² =² + b²

Vähendatud hüperboolivõrrand
1. juhtum: hüperbool, mis keskendub x-teljele.

On selge, et sel juhul on fookustel koordinaadid F1 (-c, 0) ja F2 (c, 0).
Seega on ristküliku tasapinna lähtepunktiga ja x-teljele keskendunud ellipsi vähendatud võrrand:

2. juhtum: hüperbool fookustega y-teljel.

Sel juhul on fookustel koordinaadid F1 (0, -c) ja F2 (0, c).
Seega on ristküliku tasapinna lähtepunktiga ja y-teljele keskendunud ellipsi vähendatud võrrand:

Näide 1. Leidke hüperbooli vähendatud võrrand reaalteljega 6, fookustega F1 (-5, 0) ja F2 (5, 0).
Lahendus: peame
2a = 6 → a = 3
F1 (-5, 0) ja F2 (5, 0) → c = 5

Tähelepanuväärsest suhtest saame:
ç² =² + b^2 → 5² = 3² + b² → b² = 25 - 9 → b² = 16 → b = 4
Seega saadakse vähendatud võrrand:

Näide 2. Leidke vähendatud hüperbooli võrrand, millel on kaks fookust F2 koordinaatidega (0, 10) ja kujuteldav telg mõõtmetega 12.
Lahendus: peame
F2 (0, 10) → c = 10
2b = 12 → b = 6
Tähelepanuväärset suhet kasutades saame:
10² =² + 6² → 100 = a² + 36 → a² = 100 - 36 → a² = 64 → a = 8.
Seega saadakse vähendatud hüperboolivõrrand:

Näide 3. Määrake võrrandiga hüperbooli fookuskaugus
Lahendus: Kuna hüperbooli võrrand on tüüpi  Me peame
The² = 16 ja b² =9
Tähelepanuväärsest suhtest saame
ç² = 16 + 9 → c² = 25 → c = 5
Fookuskauguse annab 2c. Seega
2c = 2 * 5 = 10
Seega on fookuskaugus 10.

Autor Marcelo Rigonatto
Statistika ja matemaatilise modelleerimise spetsialist
Brasiilia koolimeeskond

Analüütiline geomeetria - Matemaatika - Brasiilia kool