sümmeetriline maatriks on peakorter milles iga element \(a_{ij}\) on võrdne elemendiga \(a_{ji}\) kõigi i ja j väärtuste jaoks. Järelikult on iga sümmeetriline maatriks võrdne selle transponeerimisega. Samuti väärib märkimist, et iga sümmeetriline maatriks on ruudukujuline ja et põhidiagonaal toimib sümmeetriatelgena.
Loe ka:Maatriksi liitmine ja lahutamine — kuidas arvutada?
Abstraktne sümmeetrilisest maatriksist
Sümmeetrilises maatriksis \(a_{ij}=a_{ji}\) kõigi i ja j jaoks.
Iga sümmeetriline maatriks on ruudukujuline.
Iga sümmeetriline maatriks on võrdne selle transponeerimisega.
Sümmeetrilise maatriksi elemendid on sümmeetrilised põhidiagonaali suhtes.
Olles sümmeetrilises maatriksis \(a_{ij}=a_{ji}\) kõigi i ja j jaoks; antisümmeetrilises maatriksis, \(a_{ij}=-a_{ji}\) kõigi i ja j jaoks.
Mis on sümmeetriline maatriks?
Sümmeetriline maatriks on ruutmaatriks kus \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) iga i ja iga j kohta. See tähendab, et \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\)ja nii edasi kõigi i ja j võimalike väärtuste puhul. Pidage meeles, et i võimalikud väärtused vastavad maatriksi ridadele ja j võimalikud väärtused vastavad maatriksi veergudele.
Sümmeetriliste maatriksite näited
\(\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Mittesümmeetriliste maatriksite näited (vaata \(\mathbf{b≠g}\))
\(\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Tähtis: Öelda, et maatriks ei ole sümmeetriline, tähendab seda näidata \(a_{ij}≠a_{ji}\) vähemalt mõne i ja j puhul (mida näeme eelnevate näidete võrdlemisel). See erineb antisümmeetrilise maatriksi kontseptsioonist, mida näeme hiljem.
Millised on sümmeetrilise maatriksi omadused?
Iga sümmeetriline maatriks on ruudukujuline
Pange tähele, et sümmeetrilise maatriksi määratlus põhineb ruutmaatriksitel. Seega on igal sümmeetrilisel maatriksil sama arv ridu kui veergude arv.
Iga sümmeetriline maatriks on võrdne selle transponeerimisega
Kui A on maatriks, siis selle üle võetud (\(A^T\)) on defineeritud kui maatriks, mille read on A veerud ja mille veerud on A read. Seega, kui A on sümmeetriline maatriks, on meil olemas \(A=A^T\).
Sümmeetrilises maatriksis "peegelduvad" elemendid põhidiagonaali suhtes
Nagu \(a_{ij}=a_{ji}\) sümmeetrilises maatriksis on põhidiagonaali kohal olevad elemendid allpool olevate elementide "peegeldused". diagonaalist (või vastupidi) diagonaali suhtes, nii et põhidiagonaal toimib diagonaali teljena. sümmeetria.
Millised on erinevused sümmeetrilise maatriksi ja antisümmeetrilise maatriksi vahel?
Kui A on sümmeetriline maatriks, siis \(a_{ij}=a_{ji}\) kõigi i ja kõigi j jaoks, nagu me uurisime. Antisümmeetrilise maatriksi puhul on olukord erinev. Kui B on antisümmeetriline maatriks, siis \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) iga i ja iga j kohta.
Pange tähele, et selle tulemuseks on \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), see on, peamised diagonaali elemendid on null. Selle tagajärg on see, et antisümmeetrilise maatriksi transponeerimine on võrdne selle vastandiga, st kui B on antisümmeetriline maatriks, siis \(B^T=-B\).
Antisümmeetriliste maatriksite näited
\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)
Vaata ka: Identiteedimaatriks – maatriks, mille põhidiagonaali elemendid on võrdsed 1-ga ja ülejäänud elemendid on võrdsed 0-ga
Lahendati harjutusi sümmeetrilisel maatriksil
küsimus 1
(Unicentro)
kui maatriks \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmaatriks}\) on sümmeetriline, seega on xy väärtus:
A) 6
B) 4
C) 2
D) 1
E) -6
Resolutsioon:
Alternatiiv A
Kui antud maatriks on sümmeetriline, on sümmeetrilistes positsioonides olevad elemendid võrdsed (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Seetõttu peame:
\(x = y - 1\)
\(x + 5 = 7\)
Esimese asendamine võrrand teises järeldame, et \(y=3\), varsti:
\(x=2\) see on \(xy=6\)
küsimus 2
(UFSM) Teades, et maatriks \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) on võrdne selle transponeerimise väärtusega \(2x+y\) é:
A) -23
B) -11
C) -1
D) 11
E) 23
Resolutsioon:
Alternatiiv C
Kuna antud maatriks on võrdne selle transponeerimisega, siis on tegemist sümmeetrilise maatriksiga. Seega on sümmeetrilistes positsioonides olevad elemendid võrdsed (\(a_{ij}=a_{ji}\)), st:
\(x^2=36\)
\(4-a=-7\)
\(-30=5x\)
Esimese võrrandi järgi x=-6 või x=6. Kolmanda võrrandi abil saame õige vastuse: x = -6. Teise võrrandi järgi y = 11.
Varsti:
\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)
Maria Luiza Alves Rizzo
Matemaatika õpetaja
Allikas: Brasiilia kool - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm