sümmeetriline maatriks on peakorter milles iga element \(a_{ij}\) on võrdne elemendiga \(a_{ji}\) kõigi i ja j väärtuste jaoks. Järelikult on iga sümmeetriline maatriks võrdne selle transponeerimisega. Samuti väärib märkimist, et iga sümmeetriline maatriks on ruudukujuline ja et põhidiagonaal toimib sümmeetriatelgena.
Loe ka:Maatriksi liitmine ja lahutamine — kuidas arvutada?
Selle artikli teemad
- 1 – Sümmeetrilise maatriksi kokkuvõte
- 2 – Mis on sümmeetriline maatriks?
- 3 – Millised on sümmeetrilise maatriksi omadused?
- 4 – Millised on erinevused sümmeetrilise maatriksi ja antisümmeetrilise maatriksi vahel?
- 5 - Lahendatud harjutused sümmeetrilisel maatriksil
Abstraktne sümmeetrilise maatriksi kohta
Sümmeetrilises maatriksis \(a_{ij}=a_{ji}\) kõigi i ja j jaoks.
Iga sümmeetriline maatriks on ruudukujuline.
Iga sümmeetriline maatriks on võrdne selle transponeerimisega.
Sümmeetrilise maatriksi elemendid on sümmeetrilised põhidiagonaali suhtes.
Olles sümmeetrilises maatriksis \(a_{ij}=a_{ji}\) kõigi i ja j jaoks; antisümmeetrilises maatriksis, \(a_{ij}=-a_{ji}\) kõigi i ja j jaoks.
Mis on sümmeetriline maatriks?
Sümmeetriline maatriks on ruutmaatriks kus \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) iga i ja iga j kohta. See tähendab, et \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\)ja nii edasi kõigi i ja j võimalike väärtuste puhul. Pidage meeles, et i võimalikud väärtused vastavad maatriksi ridadele ja j võimalikud väärtused vastavad maatriksi veergudele.
Sümmeetriliste maatriksite näited
\(\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Mittesümmeetriliste maatriksite näited (vaata \(\mathbf{b≠g}\))
\(\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Tähtis: Öelda, et maatriks ei ole sümmeetriline, tähendab seda näidata \(a_{ij}≠a_{ji}\) vähemalt mõne i ja j puhul (mida näeme eelnevate näidete võrdlemisel). See erineb antisümmeetrilise maatriksi kontseptsioonist, mida näeme hiljem.
Ära nüüd lõpeta... Peale reklaami on veel midagi ;)
Millised on sümmeetrilise maatriksi omadused?
Iga sümmeetriline maatriks on ruudukujuline
Pange tähele, et sümmeetrilise maatriksi määratlus põhineb ruutmaatriksitel. Seega on igal sümmeetrilisel maatriksil sama arv ridu kui veergude arv.
Iga sümmeetriline maatriks on võrdne selle transponeerimisega
Kui A on maatriks, siis selle üle võetud (\(A^T\)) on defineeritud kui maatriks, mille read on A veerud ja mille veerud on A read. Seega, kui A on sümmeetriline maatriks, on meil olemas \(A=A^T\).
Sümmeetrilises maatriksis "peegelduvad" elemendid põhidiagonaali suhtes
Nagu \(a_{ij}=a_{ji}\) sümmeetrilises maatriksis on põhidiagonaali kohal olevad elemendid allpool olevate elementide "peegeldused". diagonaalist (või vastupidi) diagonaali suhtes, nii et põhidiagonaal toimib diagonaali teljena. sümmeetria.
Millised on erinevused sümmeetrilise maatriksi ja antisümmeetrilise maatriksi vahel?
Kui A on sümmeetriline maatriks, siis \(a_{ij}=a_{ji}\) kõigi i ja kõigi j jaoks, nagu me uurisime. Antisümmeetrilise maatriksi puhul on olukord erinev. Kui B on antisümmeetriline maatriks, siis \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) iga i ja iga j kohta.
Pange tähele, et selle tulemuseks on \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), see on, peamised diagonaali elemendid on null. Selle tagajärg on see, et antisümmeetrilise maatriksi transponeerimine on võrdne selle vastandiga, st kui B on antisümmeetriline maatriks, siis \(B^T=-B\).
Antisümmeetriliste maatriksite näited
\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)
Vaata ka: Identiteedimaatriks – maatriks, mille põhidiagonaali elemendid on võrdsed 1-ga ja ülejäänud elemendid on võrdsed 0-ga
Lahendati harjutusi sümmeetrilisel maatriksil
küsimus 1
(Unicentro)
kui maatriks \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmaatriks}\) on sümmeetriline, seega on xy väärtus:
A) 6
B) 4
C) 2
D) 1
E) -6
Resolutsioon:
Alternatiiv A
Kui antud maatriks on sümmeetriline, on sümmeetrilistes positsioonides olevad elemendid võrdsed (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Seetõttu peame:
\(x = y - 1\)
\(x + 5 = 7\)
Esimese asendamine võrrand teises järeldame, et \(y=3\), varsti:
\(x=2\) see on \(xy=6\)
küsimus 2
(UFSM) Teades, et maatriks \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) on võrdne selle transponeerimise väärtusega \(2x+y\) é:
A) -23
B) -11
C) -1
D) 11
E) 23
Resolutsioon:
Alternatiiv C
Kuna antud maatriks on võrdne selle transponeerimisega, siis on tegemist sümmeetrilise maatriksiga. Seega on sümmeetrilistes positsioonides olevad elemendid võrdsed (\(a_{ij}=a_{ji}\)), st:
\(x^2=36\)
\(4-a=-7\)
\(-30=5x\)
Esimese võrrandi järgi x=-6 või x=6. Kolmanda võrrandi abil saame õige vastuse: x = -6. Teise võrrandi järgi y = 11.
Varsti:
\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)
Autor: Maria Luiza Alves Rizzo
Matemaatika õpetaja
Kas soovite sellele tekstile viidata koolis või akadeemilises töös? Vaata:
RIZZO, Maria Luiza Alves. "Sümmeetriline maatriks"; Brasiilia kool. Saadaval: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm. Sissepääs 18. juulil 2023.
Mõistke siin maatriksstruktuuri definitsioone ja formaliseeringuid. Vaadake ka selle elementide ja erinevat tüüpi maatriksite kasutamist.
Klõpsake siin ja tutvuge identiteedimaatriksiga, maatriksi korrutamise neutraalse elemendiga. Õppige ka seda eritüüpi maatriksi koostamist.
Saage aru, mis on transponeerimismaatriks. Teadke transponeeritud maatriksi omadusi. Õppige, kuidas leida antud maatriksi transponeeritud maatriksit.
Õppige, mis on sümmeetria ja millised on selle tüübid. Vaata ka näiteid ja selle nähtuse tähtsust.
Maatriks, maatriksite tüüp, maatriksite järjekord, ridamaatriks, veerumaatriks, nullmaatriks, maatriks ruut, diagonaalmaatriks, identiteedimaatriks, vastandmaatriks, maatriks, võrdusmaatriks, võrdsus maatriksid.
Kringetama
Inglise keelest kohandatud slängi kasutatakse kellegi tähistamiseks, keda peetakse kleepuvaks, häbiväärseks, aegunud ja moest väljas.
Neurorikkus
Judy Singeri loodud termin, mida kasutatakse inimmõistuse mitmesuguste käitumisviiside kirjeldamiseks.
PL of Fake News
Tuntud ka kui PL2660, on see seaduseelnõu, millega kehtestatakse mehhanismid sotsiaalsete võrgustike reguleerimiseks Brasiilias.
