A proportsioon kuldne või jumalik proportsioon on võrdsus, mis on seotud harmoonia, ilu ja täiuslikkuse ideedega. Eukleides Aleksandriast, kreeka matemaatik, kes elas umbes 300 eKr. C., oli üks esimesi mõtlejaid, kes vormistas selle tänapäevani eri valdkondade teadlasi intrigeeriva kontseptsiooni.
Huvi põhjuseks on see, et kuldset lõiku saab ligikaudselt jälgida looduses, sealhulgas taimede seemnetes ja lehtedes ning inimkehas. Sellest tulenevalt uurivad kuldlõiget erinevad spetsialistid, nagu bioloogid, arhitektid, kunstnikud ja disainerid.
Loe ka: Arv pi — matemaatika üks olulisemaid konstante
Kokkuvõte kuldse lõike kohta
Kuldne suhe on suhe \(a>b>0\) selline, et
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
Nendel tingimustel põhjus TheB nimetatakse kuldseks lõikeks.
Kuldlõige on seotud tasakaalu, puhtuse ja täiuslikkuse kontseptsioonidega.
Kreeka täht ϕ (loe: fi) tähistab kuldset numbrit, mis on kuldlõikest saadud konstant.
Fibonacci jada puhul lähenevad jagatised iga liikme ja selle eelkäija vahel kuldsele numbrile.
Kuldne ristkülik on ristkülik, mille küljed on kuldses vahekorras.
Mis on kuldne suhe?
Vaatleme joonelõiku, mis on jagatud kaheks osaks: suurema pikkusega The ja kõige väiksem B. mõista seda a+b on kogu segmendi mõõt.
kuldne suhe on võrdsus põhjuste hulgas\(\mathbf{\frac{a+b}a}\) see on \(\mathbf{\frac{a}{b}}\), st
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
Selles kontekstis me ütleme seda The see on B on kuldses lõikes.
Aga milliste väärtuste eest The see on B kas meil on kuldlõige? Seda me järgmisena näeme.
Kuidas arvutada kuldset numbrit?
Põhjus \(\frac{a}b\)(või samamoodi, põhjus \(\frac{a+b}a\)) tulemuseks on konstant, mida nimetatakse kuldseks numbriks ja seda esindab kreeka täht ϕ. Seega on tavaline kirjutada
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b=ϕ\)
Kuldarvu arvutamiseks võtame arvesse b = 1 kuldset suhet. Seega leiame hõlpsasti väärtuse The ja saada ϕ võrdsusest \(\mathbf{\frac{a}{b}=ϕ}\).
Pange tähele, et saame kuldse suhte kirjutada järgmiselt, kasutades ristkorrutamise omadust:
\(a^2=b⋅(a+b)\)
Asendades b = 1, saame
\(a^2=1⋅(a+1)\)
\(a^2-a-1=0\)
Bhaskara valemi rakendamine selle ruutvõrrandi puhul järeldame, et positiivne lahendus The é
\(a=\frac{1+\sqrt5}2\)
Nagu The on segmendi mõõt, jätame negatiivse lahenduse arvestamata.
Niisiis, kuidas \(\frac{a}b=ϕ\), Kuldse numbri täpne väärtus on:
\(ϕ=\frac{1+\sqrt5}2\)
Jagatise arvutamisel saame Kuldse numbri ligikaudne väärtus:
\(ϕ≈1,618033989\)
Vaata ka: Kuidas lahendada matemaatilisi tehteid murdudega?
Kuldne suhe ja Fibonacci järjestus
A Fibonacci jada on arvude loend kus iga liige, alates kolmandast, on võrdne kahe eelkäija summaga. Vaatame selle jada kümmet esimest terminit:
\(a_1=1\)
\(a_2=1\)
\(a_3=1+1=2\)
\(a_4=1+2=3\)
\(a_5=2+3=5\)
\(a_6=3+5=8\)
\(a_7=5+8=13\)
\(a_8=8+13=21\)
\(a_9=13+21=34\)
\(a_{10}=21+34=55\)
Kui me jagatise arvutame iga termini ja selle eelkäija vahel Fibonacci jadas, läheneme kuldsele numbrile ϕ:
\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}1=1\)
\(\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}1=2\)
\(\frac{a_4}{a_3}=\frac{3}2=1,5\)
\(\frac{a_5}{a_4}=\frac{5}3=1,6666…\)
\(\frac{a_6}{a_5}=\frac{8}5=1,6\)
\(\frac{a_7}{a_6}=\frac{13}8=1,625\)
\(\frac{a_8}{a_7}=\frac{21}{13}=1,6153…\)
\(\frac{a_9}{a_8}=\frac{34}{21}=1,61904…\)
\(\frac{a_10}{a_9}=\frac{55}{34}=1,61764…\)
Kuldne suhe ja kuldne ristkülik
Üks ristkülik kus pikim külg The ja väiksem pool B on kuldses lõikes seda nimetatakse kuldseks ristkülikuks. Kuldse ristküliku näide on ristkülik, mille külgede pikkus on 1 cm ja \(\frac{1+\sqrt5}2\) cm.
Tea rohkem: Mis on otseselt proportsionaalsed kogused?
Kuldse suhte rakendused
Pange tähele, et seni oleme kuldset lõiku uurinud ainult abstraktsetes matemaatilistes kontekstides. Järgmisena näeme mõnda rakenduslikku näidet, kuid tuleb olla ettevaatlik: kuldlõiget ei esitata ühelgi juhul täpselt. Olemas on analüüsid erinevatest kontekstidest, milles kuldne number paistab niiligikaudne.
Kuldne suhe arhitektuuris
Mõned uuringud väidavad, et kulla arvu hinnanguid täheldatakse Egiptuses asuva Cheopsi püramiidi ja New Yorgis asuva ÜRO peakorteri hoone mõõtmete teatud suhetes.
Kuldne suhe inimkehas
Inimese keha mõõdud on inimestel erinevad ja täiuslikku kehatüüpi pole olemas. Vähemalt Vana-Kreekast saadik on aga vaieldud matemaatiliselt ideaalse (ja tegelikkuses täiesti kättesaamatu) keha üle, mille mõõtmised on seotud kuldse lõikega. Selles teoreetilises kontekstis on näiteks inimese pikkuse ja naba ja maapinna vahelise kauguse suhe oleks kuldne number.
kuldlõige kunstis
Uuritakse itaallase Leonardo da Vinci teoseid "Vitruvian Man" ja "Mona Lisa", mis viitavad kuldsete ristkülikute kasutamine.
Kuldne suhe looduses
On uuringuid, mis viitavad a seos kuldse lõike ja teatud taimede lehtede jaotumise vahel varrel. Sellist lehtede paigutust nimetatakse filotaksiaks.
Kuldne suhe disainis
Kuldlõiget uuritakse ja kasutatakse ka disaini valdkonnas kui a projekti koostamise tööriist.
Lahendati harjutusi kuldlõikel
küsimus 1
(Enem) Joonelõik jagatakse kaheks osaks kuldlõikes, kui tervik on ühe osaga samas vahekorras, mis see osa on teisega. Seda proportsionaalsuskonstanti tähistatakse tavaliselt kreeka tähega ϕ ja selle väärtuse annab võrrandi ϕ2 = ϕ+1 positiivne lahend.
Täpselt nagu jõud \(ϕ^2\), saab ϕ kõrgemaid võimsusi väljendada kujul \(aϕ+b\), kus a ja b on positiivsed täisarvud, nagu on näidatud tabelis.
potentsi \(ϕ^7\), mis on kirjutatud kujul aϕ+b (a ja b on positiivsed täisarvud), on
a) 5ϕ+3
b) 7ϕ+2
c) 9ϕ+6
d) 11ϕ+7
e) 13ϕ+8
Resolutsioon
Nagu \(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6\), Me peame
\(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)\)
Rakendades jaotust,
\(ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ\)
Nagu \(ϕ^2=ϕ+1\),
\(ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ\)
\(ϕ^7=13ϕ+8\)
E alternatiiv.
küsimus 2
Hinda igat allpool olevat väidet kuldse numbri kohta kas T (tõene) või F (vale).
i. Kuldne arv ϕ on irratsionaalne.
II. Fibonacci jada iga liikme ja selle eelkäija vahelised jagatised lähenevad ϕ väärtusele.
III. 1,618 on kuldse arvu ϕ ümardamine kolme kümnendkohani.
Õige järjestus ülalt alla on
a) V-V-V
b) F-V-F
c) V-F-V
d) F-F-F
e) F-V-V
Resolutsioon
i. Tõsi.
II. Tõsi.
III. Tõsi.
Alternatiiv A.
Allikad
FRANCISCO, S.V. alates L. Kuldse lõike lummuse ja reaalsuse vahel. Väitekiri (Professional Master's Degree in Mathematics in National Network) – Bioteaduste, kirja- ja täppisteaduste instituut, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. São Paulo, 2017. Saadaval: http://hdl.handle.net/11449/148903.
MÜÜK, J. alates S. Looduses esinev kuldlõige. Kursusetöö lõpetamine (matemaatika kraad), Piauí föderaalne haridus-, teadus- ja tehnoloogiainstituut. Piauí, 2022. Saadaval http://bia.ifpi.edu.br: 8080/jspui/handle/123456789/1551.
Autor: Maria Luiza Alves Rizzo
Matemaatika õpetaja
Allikas: Brasiilia kool - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/proporcao-aurea.htm
