O standardhälve on dispersiooni mõõt, nagu ka dispersioon ja variatsioonikordaja. Standardhälbe määramisel saame luua vahemiku aritmeetilise keskmise (jagamine loendis olevate arvude summa ja lisatud arvude arvu vahel), kuhu on koondunud suurem osa andmetest. Mida suurem on standardhälbe väärtus, seda suurem on andmete muutlikkus ehk seda suurem on hälve aritmeetilisest keskmisest.
Loe ka: Mode, keskmine ja mediaan — kesksete tendentside peamised mõõdikud
Selle artikli teemad
- 1 - Standardhälbe kokkuvõte
- 2 – Mis on standardhälve?
- 3 - Kuidas arvutada standardhälvet?
- 4 – Millised on standardhälbe tüübid?
- 5 – Millised on erinevused standardhälbe ja dispersiooni vahel?
- 6 - Lahendatud harjutused standardhälbe kohta
Standardhälbe kokkuvõte
- Standardhälve on varieeruvuse mõõt.
- Standardhälbe tähistus on väike kreeka täht sigma (σ) või täht s.
- Standardhälvet kasutatakse andmete varieeruvuse kontrollimiseks keskmise ümber.
- Standardhälve määrab vahemiku \(\left[\mu-\sigma,\mu+\sigma\right]\), kus asub suurem osa andmetest.
- Standardhälbe arvutamiseks peame leidma dispersiooni ruutjuure:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
Mis on standardhälve?
Standardhälve on a statistikas vastu võetud hajutusmeede. Selle kasutamine on seotud dispersiooni tõlgendamine, mis on ka hajuvuse mõõt.
Praktikas standardhälve määrab intervalli, mille keskpunkt on aritmeetiline keskmine, millesse on koondunud suurem osa andmetest. Seega, mida suurem on standardhälbe väärtus, seda suurem on andmete ebakorrapärasus (rohkem teavet heterogeensed) ja mida väiksem on standardhälbe väärtus, seda väiksem on andmete ebakorrapärasus (rohkem teavet homogeenne).
Ära nüüd lõpeta... Peale reklaami on veel midagi ;)
Kuidas arvutada standardhälvet?
Andmekogumi standardhälbe arvutamiseks peame leidma dispersiooni ruutjuure. Niisiis, standardhälbe arvutamise valem on
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
- \(x_1,x_2,x_3,\ldots, x_N\) → seotud andmed.
- μ → andmete aritmeetiline keskmine.
- N → andmemaht.
- \( \sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2\ =\ \left (x_1-\mu\right)^2+\left (x_2-\mu\right) )^2+\vasak (x_3-\mu\parem)^2+...+\vasak (x_N-\mu\parem)^2 \)
Viimane üksus, mis viitab radikandi lugejale, näitab iga andmepunkti ja aritmeetilise keskmise erinevuse ruutude summat. Pange tähele, et standardhälbe mõõtühik on andmetega sama mõõtühik x1,x2,x3,…,xEi.
Kuigi selle valemi kirjutamine on veidi keeruline, on selle rakendamine lihtsam ja otsesem. Allpool on näide selle avaldise kasutamisest standardhälbe arvutamiseks.
- Näide:
Kahe nädala jooksul registreeriti linnas järgmised temperatuurid:
Nädal/päev |
pühapäev |
Teiseks |
Kolmandaks |
Neljandaks |
Viiendaks |
reedel |
laupäeval |
nädal 1 |
29°C |
30°C |
31°C |
31,5 °C |
28°C |
28,5 °C |
29°C |
nädal 2 |
28,5 °C |
27°C |
28°C |
29°C |
30°C |
28°C |
29°C |
Millise kahe nädala jooksul püsis temperatuur selles linnas regulaarsem?
Resolutsioon:
Temperatuuri regulaarsuse analüüsimiseks peame võrdlema 1. ja 2. nädalal registreeritud temperatuuride standardhälbeid.
- Vaatame esmalt 1. nädala standardhälvet:
Pange tähele, et keskmine μ1 see on Ei1 nemad on
\(\mu_1=\frac{29+30+31+31,5+28+28,5+29}{7}\umbes 29,57\)
\(N_1=7 \) (7 päeva nädalas)
Samuti peame arvutama iga temperatuuri ja keskmise temperatuuri erinevuse ruudu.
\(\vasak (29-29,57\parem)^2=0,3249\)
\(\vasak (30-29,57\parem)^2=0,1849\)
\(\left (31-29,57\right)^2=2,0449\)
\(\vasak (31,5–29,57\parem)^2=3,7249\)
\(\left (28-29,57\right)^2=2,4649\)
\(\vasak (28,5–29,57\parem)^2=1,1449\)
\(\vasak (29-29,57\parem)^2=0,3249\)
Tulemused liites saame, et radikandi lugeja standardhälbe valemis on
\(0,3249\ +\ 0,1849\ +2,0449+3,7249+2,4649+1,1449+0,3249\ =\ 10,2143\)
Seega on nädala 1 standardhälve
\(\sigma_1=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_1}}=\sqrt{\frac{10,2143} {7}}\ \umbes 1,208\ °C\)
Märkus. See tulemus tähendab, et suurem osa 1. nädala temperatuuridest on vahemikus [28,36 °C, 30,77 °C], st intervallis \(\left[\mu_1-\sigma_1,\mu_1+\sigma_1\right]\).
- Vaatame nüüd 2. nädala standardhälvet:
Sama arutluskäiku järgides oleme
\(\mu_2=\frac{28,5+27+28+29+30+28+29}{7}=28,5\)
\(N_2=7\)
\(\vasak (28,5–28,5\parem)^2=0\)
\(\vasak (27–28,5\parem)^2=2,25\)
\(\vasak (28–28,5\parem)^2=0,25\)
\(\vasak (29–28,5\parem)^2=0,25\)
\(\vasak (30–28,5\parem)^2=2,25\)
\(\vasak (28–28,5\parem)^2=0,25\)
\(\vasak (29–28,5\parem)^2=0,25\)
\(0\ +\ 2,25\ +\ 0,25\ +\ 0,25+2,25+0,25+0,25\ =\ 5,5\)
Seega on 2. nädala standardhälve
\(\sigma_2=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_2}}=\sqrt{\frac{5,5} {7}}\ \umbes 0,89\ °C\)
See tulemus tähendab, et enamik 2. nädala temperatuure on vahemikus \(\left[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\right]\), see tähendab vahemikku \(\left[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\right]\).
mõista seda \(\sigma_2, see tähendab, et 2. nädala standardhälve on väiksem kui 1. nädala standardhälve. Seetõttu oli 2. nädalal tavalisem temperatuur kui 1. nädalal.
Millised on standardhälbe tüübid?
Standardhälbe tüübid on seotud andmekorralduse tüübiga. Eelmises näites töötasime rühmitamata andmete standardhälbega. Muidu organiseeritud andmete (näiteks rühmitatud andmete) komplekti standardhälbe arvutamiseks peate valemit kohandama.
Millised on erinevused standardhälbe ja dispersiooni vahel?
standardhälve on ruutjuur dispersioonist:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
\(V=\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}\)
Kui kasutate andmehulga varieeruvuse määramiseks dispersiooni, on tulemuses andmeühik ruudus, mis muudab selle analüüsi keeruliseks. Seega on standardhälve, millel on andmetega sama ühik, võimalik vahend dispersiooni tulemuse tõlgendamiseks.
Tea rohkem:Absoluutne sagedus – andmete kogumise ajal sama vastuse ilmumiste arv
Lahendati harjutusi standardhälbe kohta
küsimus 1
(FGV) 10 õpilasega klassis olid õpilaste hinded hindamisel:
6 |
7 |
7 |
8 |
8 |
8 |
8 |
9 |
9 |
10 |
Selle loendi standardhälve on ligikaudu
A) 0,8.
B) 0,9.
C) 1.1.
D) 1.3.
E) 1.5.
Resolutsioon:
Alternatiiv C.
Avalduse kohaselt N = 10. Selle loendi keskmine on
\( \mu=\frac{6+7+7+8+8+8+8+9+9+10}{10}=8 \)
Lisaks
\(\left (6-8\right)^2=4\)
\(\left (7-8\right)^2=1\)
\(\left (8-8\right)^2=0\)
\(\left (9-8\right)^2=1\)
\(\vasak (10-8\parem)^2=4\)
\(4+1+1+0+0+0+0+1+1+4=12\)
Seega on selle loendi standardhälve
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10}\left (x_i-8\right)^2}{10}}=\sqrt{\frac{12}{10} }\umbes 1.1\)
küsimus 2
Mõelge allolevatele väidetele ja hinnake neid T (tõene) või F (vale).
i. Dispersiooni ruutjuur on standardhälve.
II. Standardhälbel pole mingit seost aritmeetilise keskmisega.
III. Dispersioon ja standardhälve on näited dispersiooni mõõtmistest.
Õige järjestus, ülalt alla, on
A) V-V-F
B) F-F-V
C) F-V-F
D) F-F-F
E) V-F-V
Resolutsioon:
E alternatiiv.
i. Dispersiooni ruutjuur on standardhälve. (tõsi)
II. Standardhälbel pole mingit seost aritmeetilise keskmisega. (vale)
Standardhälve näitab intervalli aritmeetilise keskmise ümber, millesse langeb suurem osa andmetest.
III. Dispersioon ja standardhälve on näited dispersiooni mõõtmistest. (tõsi)
Autor: Maria Luiza Alves Rizzo
Matemaatika õpetaja
Vaata siit statistika põhimõisteid ja põhimõtteid. Vaata ka, kuidas statistikaõpe jaguneb, ja järgi mõningaid selle rakendusi.
Klõpsake ja õppige hajutuse mõõtmeid, mida nimetatakse amplituudiks ja kõrvalekaldeks, ning vaadake näiteid nende teabe analüüsimise viiside rakendamisest.
Tutvuge definitsiooniga ning dispersiooni ja standardhälbe rakendamisega, mis on kaks olulist hajumise mõõdet.
Klõpsake ja õppige, kuidas arvutada aritmeetilist keskmist, tsentraalsuse mõõdikut, mille tulemus kujutab endast teabe loendit.
Ruutjuur on matemaatiline tehe, mida kasutatakse kõigil kooliastmetel. Õppige nomenklatuure ja määratlusi ning nende geomeetrilist tõlgendust.
Kas sa tead, mis on dispersioon? Õppige arvutama ja seda huvitavat dispersioonimõõtjat kasutama!
