THE Sisepoolitajate teoreem töötati välja spetsiaalselt kolmnurgad ja näitab, et kui jälgime kolmnurga sisemist poolitajat, jagab poolitaja kohtumispunkt selle vastasküljega selle külje joonelõigud võrdeline selle nurga külgnevate külgedega. Sisepoolitajate teoreemi rakendamisega kolmnurga külje või lõikude väärtust on võimalik määrata nendevahelist proportsiooni kasutades.
Vaata ka: Mediaan, nurgapoolitaja ja kolmnurga kõrgus – mis vahe on?
Kokkuvõte sisemise poolitaja teoreemi kohta:
Poolitaja on a kiir mis jagab nurga kaheks ühtseks nurgaks.
Sisepoolitaja teoreem on omane kolmnurkadele.
See teoreem tõestab, et poolitaja jagab vastaskülje pooleks proportsionaalsed segmendid külgnevatele külgedele nurk.
Videotund sisepoolitajate teoreemi kohta
Mis on poolitajateoreem?
Enne kui mõistame, mida sisepoolitaja teoreem ütleb, on oluline teada, mis on nurga poolitaja. See on kiir, mis jagab nurga kaheks ühtseks osaks.st kaks osa, millel on sama mõõt.
Mõistes, mis on poolitaja, märkame, et see eksisteerib kolmnurga sisenurga all. Kui me piiritleme kolmnurga nurga poolitaja, jagab see vastaskülje kaheks segmendiks. Mis puudutab sisemist poolitajat,
selle teoreem ütleb, et kaks temaga jagatud segmenti on võrdelised nurga külgnevate külgedega.
Pange tähele, et poolitaja jagab külje AC kaheks segmendiks, AD ja DC. Poolitajate teoreem näitab seda:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)
Tea rohkem: Pythagorase teoreem — teine kolmnurkade jaoks välja töötatud teoreem
Sisepoolitaja teoreemi tõestus
Allpool olevas kolmnurgas ABC piiritleme lõigu BD, mis on selle kolmnurga poolitaja. Lisaks jälgime selle külje CB ja segmendi AE pikenemist paralleelselt BD-ga:
Nurk AEB on kongruentsed nurgaga DBC, sest CE on a otse risti paralleelsete segmentide AE ja BD suhtes.
rakendades Thalese teoreem, jõudsime järeldusele, et:
\(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Nüüd meie jääb üle näidata, et BE = AB.
Kuna x on nurga ABD ja DBC mõõt, saame nurga ABE analüüsimisel:
ABE = 180 - 2x
Kui y on nurga EAB mõõt, on meil järgmine olukord:
Me teame, et kolmnurga sisenurkade summa ABE on 180°, seega saame arvutada:
180–2x + x + y = 180
– x + y = 180–180
– x + y = 0
y = x
Kui nurga x ja y mõõt on sama, on kolmnurk ABE võrdhaarne. Seetõttu külg AB = AE.
Kuna kolmnurga sisenurkade summa on alati 180°, on kolmnurgas ACE:
x + 180 - 2x + y = 180
– x + y = 180–180
– x + y = 0
y = x
Kuna y = x, on kolmnurk ACE võrdhaarne. Seetõttu on segmendid AE ja AC kongruentsed. AE vahetamine AC in vastu põhjus, on tõestatud, et:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Näide:
Leidke x väärtus järgmises kolmnurgas:
Kolmnurka analüüsides saame järgmise suhte:
\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)
Ristkorrutamine:
6x = 8 ⋅ 3
6x = 24
\(x=\frac{24}{6}\)
x = 4
Loe ka: Kolmnurga märkimisväärsed punktid - mis need on?
Lahendati sisepoolitajate teoreemi ülesandeid
küsimus 1
Vaadates allolevat kolmnurka, võime öelda, et x väärtus on:
a) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
Resolutsioon:
Alternatiiv D
Rakendades sisemise poolitaja teoreemi, saame järgmise arvutuse:
\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)
Ristkorrutamine:
\(27x=18\ \left (30-x\right)\)
\(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \)
\(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \)
\(45x\ =\ 540\ \)
\(x=\frac{540}{45}\)
\(x\ =\ 12\)
küsimus 2
Analüüsige järgmist kolmnurka, teades, et teie mõõtmised on antud sentimeetrites.
Kolmnurga ABC ümbermõõt on võrdne:
A) 75 cm
B) 56 cm
C) 48 cm
D) 24 cm
E) 7,5 cm
Resolutsioon:
Alternatiiv C
Kasutades poolitajateoreemi, leiame esmalt x väärtuse:
\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)
\(5\ \left (4x-9\right)=2x\cdot7\)
\(20x\ -\ 45\ =\ 14x\)
\(20x\ -\ 14x\ =\ 45\ \)
\(6x\ =\ 45\ \)
\(x=\frac{45}{6}\)
\(x\ =\ 7,5\)
Seega mõõdavad tundmatud küljed:
\(2\cdot7,5\ =\ 15\ \)
\(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)
Meenutades, et mõõturi pikkus kasutatud oli cm, the ümbermõõt selle kolmnurga väärtus on võrdne:
P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 cm
Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Matemaatika õpetaja
Allikas: Brasiilia kool - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm
