Kuusnurk see on hulknurk millel on 6 külge. See on korrapärane, kui kõik küljed ja sisemised nurgad on üksteisega kooskõlas. See on ebaregulaarne, kui sellel neid omadusi pole. Esimene juhtum on kõige laiemalt uuritud, sest kui kuusnurk on korrapärane, on sellel spetsiifilised omadused ja valemid, mis võimaldavad arvutada selle pindala, perimeetri ja apoteemi.
Loe ka: Mis on losangle?
Abstraktne kuusnurgast
Kuusnurk on 6-tahuline hulknurk.
See on regulaarne, kui kõik küljed on ühtsed.
See on ebakorrapärane, kui kõik küljed ei ole ühtsed.
Tavalises kuusnurgas on iga sisenurk 120°.
Summa nurgad korrapärase kuusnurga välisservad on alati 360°.
Tavalise kuusnurga pindala arvutamiseks kasutame valemit:
\(A=\frac{3L^2\sqrt3}{2}\)
O ümbermõõt kuusnurga on selle külgede summa. Kui see on regulaarne, on meil:
P = 6L
Tavalise kuusnurga apoteem arvutatakse järgmise valemiga:
\(a=\frac{\sqrt3}{2}L\)
Ära nüüd lõpeta... Pärast kuulutust on rohkem ;)
Mis on kuusnurk?
Kuusnurk on mis tahes hulknurk, mis sellel on 6 külge, seega 6 tippu ja 6 nurka
. Kuna tegemist on hulknurgaga, on see kinnine lame kujund, mille küljed ei ristu. Kuusnurk on looduses, nagu kärgstruktuurides, korduv kujund orgaaniline keemia, teatud kilpkonnade kestades ja lumehelvestes.Videotund hulknurkade kohta
kuusnurksed elemendid
Kuusnurk koosneb 6 küljest, 6 tipust ja 6 sisenurgast.
Tipud: punktid A, B, C, D, E, F.
küljed: segmendid \(\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DE},\overline{EF},\\overline{AF}\).
Sisemised nurgad: nurgad a, b, c, d, f.
Kuusnurkade klassifikatsioon
Kuusnurki, nagu ka teisi hulknurki, saab liigitada kahel viisil.
korrapärane kuusnurk
Kuusnurk on korrapärane, kui see on kõik selle ühtsed küljed — järelikult on ka nende nurgad ühtsed. Regulaarne kuusnurk on kõige olulisem, olles kõige laiemalt uuritud. Konkreetsete valemitega on võimalik välja arvutada mitu selle aspekti, näiteks pindala.
Vaatlus: Tavalise kuusnurga saab jagada kuueks võrdkülgsed kolmnurgadst kolmnurgad, mille kõik küljed on võrdsed.
→ ebakorrapärane kuusnurk
Ebakorrapärane kuusnurk on selline, millel on pooled erinevate meetmetega. See võib olla kumer või mittekumer.
kumer ebakorrapärane kuusnurk
kuusnurk on kumer kui sul on kõik sisenurgad alla 180°.
→ Ebakorrapärane mittekumer kuusnurk
Kuusnurk on mittekumer, kui see on sisenurgad üle 180°.
kuusnurga omadused
→ Diagonaalide arv kuusnurgas
Esimene oluline omadus on see kumeras kuusnurgas on alati 9 diagonaali. Leiame need 9 diagonaali geomeetriliselt:
Diagonaalid saame leida ka algebraliselt, kasutades järgmist valemit:
\(d=\frac{n\left (n-3\right)}{2}\)
Kui asendame võrrandis 6, saame:
\(d=\frac{6\cdot\left (6-3\right)}{2}\)
\(d=\frac{6\cdot3}{2}\)
\(d=\frac{18}{2}\)
\(d=9\)
Seega on kumeral kuusnurgal alati 9 diagonaali.
Tea rohkem: Ristkülikukujuline ploki diagonaal – segment, mis ühendab selle kahte tippu, mis ei asu samal pinnal
→ Kuusnurga sisenurgad
Kuusnurgas on selle sisenurkade summa on 720°. Selle summa tegemiseks asendage valemis lihtsalt 6:
\(S_i=180\vasak (n-2\parem)\)
\(S_i=180\vasak (6-2\parem)\)
\(S_i=180\cdot4\)
\(S_i=720\)
Tavalises kuusnurgas on sisenurgad alati 120°, sest
720°: 6 = 120°
→ Korrapärase kuusnurga välisnurgad
Mis puudutab välisnurki, siis teame, et Nende summa on alati 360°. Kuna on 6 välisnurka, on igaüks neist 60°, as
360°: 6 = 60°
→ Regulaarne kuusnurkne apoteem
Korrapärase hulknurga apoteemiks loetaksejoonelõik mis ühendab hulknurga keskpunkti keskpunkt sinu poolel. Nagu me teame, koosneb korrapärane kuusnurk 6 võrdkülgsest kolmnurgast, seega vastab apoteem ühe sellise võrdkülgse kolmnurga kõrgusele. Selle segmendi väärtuse saab arvutada järgmise valemi abil:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
→ kuusnurga ümbermõõt
Kuusnurga ümbermõõdu arvutamiseks tehke lihtsalt selle 6 külje summa. Kui kuusnurk on korrapärane, on selle küljed kongruentsed, seega on võimalik kuusnurga ümbermõõt arvutada järgmise valemi abil:
P = 6L
→ korrapärane kuusnurkne ala
Kuna me teame, et korrapärane kuusnurk koosneb 6 võrdkülgsest kolmnurgast, mille külgede mõõtmed on L, on selle pindala arvutamiseks võimalik tuletada valem, kasutades pindala üks kolmnurk võrdkülgne korrutatud 6-ga.
\(A=6\cdot\frac{L^2\sqrt3}{4}\)
Pange tähele, et on võimalik lihtsustus jagamine 2-ga, genereerides kuusnurga pindala arvutamise valemi:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
Ringi sisse kirjutatud kuusnurk
Me ütleme, et hulknurk on sisse kirjutatud a-sse ümbermõõt kui ta on ringi sees ja selle tipud on selle punktid. Võime kujutada ringikujulist korrapärast kuusnurka. Kui teeme selle esituse, on võimalik kontrollida, kas ringi raadiuse pikkus on võrdne kuusnurga külje pikkusega.
Tea ka: Ring ja ümbermõõt – mis vahe on?
Ringiga ümbritsetud kuusnurk
Me ütleme, et hulknurk on ümbritsetud ringiga, kui ümbermõõt on selle hulknurga sees. Võime kujutada piiritletud korrapärast kuusnurka. Sel juhul puutub ringjoon kuusnurga mõlema külje keskpunkti, mis teeb ringi raadiuse võrdseks kuusnurga apoteemiga.
kuusnurkne prisma
THE Tasapinna geomeetria on uuringute aluseks Ruumiline geomeetria. O geomeetriliste tahkete ainete aluses võib olla kuusnurk, nagu prismades.
A mahu leidmiseks prisma, arvutame aluse pindala ja kõrguse korrutise. Kuna selle alus on kuusnurk, siis selle maht saab arvutada järgmiselt:
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
Loe ka: Geomeetriliste tahkete ainete maht – kuidas arvutada?
Kuusnurkne aluspüramiid
Lisaks kuusnurksele prismale seal on ka püramiidid kuusnurkne alus.
avastama püramiidi ruumala Kuusnurksest alusest arvutame aluse pindala, kõrguse korrutise ja jagame 3-ga.
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h: 3\)
Pange tähele, et me korrutame ja jagame kolmega, mis võimaldab a lihtsustamine. Niisiis arvutatakse kuusnurkse püramiidi maht järgmise valemiga:
\(V=\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
Lahendas harjutusi kuusnurgal
küsimus 1
Maa on tavalise kuusnurga kujuline. Selle ala tahad ümbritseda okastraadiga, et traat läheks 3 korda ümber territooriumi. Teades, et kogu maa tarastamiseks kulus kokku 810 meetrit traati, on selle kuusnurga pindala umbes:
(Kasutage \(\sqrt3=1,7\))
A) 5102 m²
B) 5164 m²
C) 5200 m²
D) 5225 m²
E) 6329 m²
Resolutsioon:
Alternatiiv B
Korrapärase kuusnurga ümbermõõt on
\(P=6L\)
Kuna sai tehtud 3 ringi, siis ühe ringi läbimiseks kulus kokku 270 meetrit, nagu me teame, et:
810: 3 = 270
Nii et meil on:
\(6L=270\)
\(L=\frac{270}{6}\)
\(L=45\ meetrit\)
Teades külje pikkust, arvutame pindala:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{{45}^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{2025\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot1012.5\sqrt3\)
\(A=3037,5\sqrt3\)
\(A=3037.5\cdot1.7\)
\(A=5163,75 m^2\)
Ümardades saame:
\(A\umbes 5164 m^2\)
küsimus 2
(PUC - RS) Mehaanilise käigu jaoks soovite teha korrapärase kuusnurkse kujuga detaili. Paralleelsete külgede vaheline kaugus on 1 cm, nagu on näidatud alloleval joonisel. Selle kuusnurga külje pikkus on ______ cm.
THE) \(\frac{1}{2}\)
B) \(\frac{\sqrt3}{3}\)
Ç) \(\sqrt3\)
D) \(\frac{\sqrt5}{5}\)
E) 1
Resolutsioon:
Alternatiiv B
Seoses korrapärase kuusnurgaga teame, et selle apoteem on mõõt ühe külje keskpunktist keskpunktini. Seega on apoteem pool pildil näidatud kaugusest. Niisiis, me peame:
\(2a = 1 cm\)
\(a=\frac{1}{2}\)
Apoteem on siis võrdne \(\frac{1}{2}\). Kuusnurga ja apoteemi külgede vahel on seos, sest tavalises kuusnurgas on meil:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
Kuna me teame apoteemi väärtust, saame selle asendada \(a=\frac{1}{2}\) võrrandis:
\(\frac{1}{2}=\frac{L\sqrt3}{2}\)
\(1=L\sqrt3\)
\(L\sqrt3=1\)
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\)
Murru ratsionaliseerimine:
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}\)
\(L=\frac{\sqrt3}{3}\)
Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Matemaatika õpetaja
