Faktoriseerimine polünoomid koosneb polünoomi ümberkirjutamiseks välja töötatud meetoditest polünoomide vahelise korrutisena. Kirjutage polünoom kui korrutamine kahe või enama teguri vahel aitab lihtsustada algebralisi avaldisi ja mõista polünoomi.
Faktooringu juhtumeid on erinevaid ja igaühe jaoks on omad võtted.. Olemasolevad juhtumid on järgmised: faktooring tõendite ühise teguri järgi, faktooring rühmitamise järgi, kahe ruudu erinevus, täiuslik ruuttrinomiaal, kahe kuubiku summa ja kahe kuubi erinevus.
Loe rohkem:Mis on polünoom?
Faktooringupolünoomide kokkuvõte
Polünoomide faktoriseerimine on meetodid, mida kasutatakse polünoomi kui polünoomide vahelise korrutise esitamiseks.
Kasutame seda faktoriseerimist lihtsustamiseks algebralised avaldised.
-
Faktooringu juhtumid on järgmised:
Faktoring tõendites ühise teguri järgi;
Faktooring rühmitamise teel;
täiuslik ruudukujuline kolmik;
kahe ruudu erinevus;
kahe kuubi summa;
Kahe kuubi erinevus.
Polünoomilise faktoringu juhtumid
Polünoomi arvutamiseks tuleb analüüsida, millisesse faktooringujuhtudest olukord sobib
, mis on: faktooring tõendite ühisteguri järgi, faktooring rühmitamise järgi, kahe ruudu erinevus, täiuslik ruuttrinomiaal, kahe kuubiku summa ja kahe kuubi erinevus. Vaatame, kuidas kõigis neist faktoriseerimist läbi viia.Ühine tegur tõendites
Seda faktooringumeetodit kasutame siis, kui polünoomi kõikidele liikmetele on ühine tegur. Seda ühist tegurit tõstetakse esile ühe tegurina ja teise tegurina, selle tulemusena jaotus selle ühise teguri järgi, paigutatakse sulgudesse.
Näide 1:
20xy + 12x² + 8xy²
Selle polünoomi iga liiget analüüsides on võimalik näha, et x kordub kõigis liikmetes. Samuti on kõik koefitsiendid (20, 12 ja 8) 4-kordsed, seega on kõigi liikmete ühine tegur 4x.
Jagades iga termini ühise teguriga, saame:
20xy: 4x = 5 aastat
12x²: 4x = 3x
8xy²: 4x = 2y²
Nüüd kirjutame faktoriseerimise, pannes ühise teguri tõenditesse ja summa sulgudes leitud tulemustest:
4x (5a + 3x + 2a²)
Näide 2:
2a²b² + 3a³b – 4a5b³
Iga termini sõnasõnalist osa analüüsides on võimalik näha, et a²b kordub kõigis. Pange tähele, et pole arvu, mis jagaks korraga 2, 3 ja – 4. Nii et ühine tegur on lihtsalt a²b.
2a²b²: a²b = 2b
3a³b: a²b = 3a
45b³: a²b = 4a³
Seega on selle polünoomi faktoriseerimine järgmine:
a²b (2b + 3a + 4a³)
Vaata ka: Polünoomide liitmine, lahutamine ja korrutamine — mõista, kuidas neid tehakse
rühmitamine
See meetod on kasutatakse juhul, kui polünoomi kõigi liikmete jaoks pole ühist tegurit. Sel juhul tuvastame terminid, mida saab rühmitada ühise teguriga, ja tõstame need esile.
Näide:
Korrigeerige järgmist polünoomi:
ax + 4b + bx + 4a
Rühmitame terminid, mille ühiseks teguriks on a ja b:
ax + 4a + bx + 4b
Pannes a ja b tõenditeks kaks korda kahega, saame:
a(x+4)+b(x+4)
Pange tähele, et sulgudes on tegurid samad, seega saame selle polünoomi ümber kirjutada järgmiselt:
(a + b) (x + 4)
täiuslik ruudukujuline kolmik
Trinoomid on 3 liikmega polünoomid. Polünoomi tuntakse täiusliku ruuttrinoomina, kui see on summa ruudus või vahe ruudus tulemus, see on:
a² + 2ab + b² = (a + b) ²
a² – 2ab + b² = (a – b) ²
Tähtis: Mitte iga kord, kui on kolm liiget, pole see polünoom täiuslik ruuttrinoom. Seetõttu tuleb enne faktoriseerimise läbiviimist kontrollida, kas trinoom sel juhul sobib.
Näide:
Võimaluse korral ka polünoom
x² + 10x + 25
Pärast selle trinoomi analüüsimist eraldame ruutjuur esimene ja viimane ametiaeg:
\(\sqrt{x^2}=x\)
\(\sqrt{25}=5\)
Oluline on kontrollida, et keskne liige, st 10x, on võrdne \(2\cdot\x\cdot5\). Pange tähele, et see on tõesti sama. Nii et see on täiuslik ruudukujuline kolmik, mida saab arvutada:
x² + 10x + 25 = (x + 5)²
kahe ruudu erinevus
Kui meil on kahe ruudu vahe, saame selle polünoomi arvesse võtta, kirjutades selle ümber summa ja erinevuse korrutiseks.
Näide:
Polünoomi kordamine:
4x² – 36a²
Esiteks arvutame selle iga termini ruutjuure:
\(\sqrt{4x^2}=2x\)
\(\sqrt{36y^2}=6 a\)
Nüüd kirjutame selle polünoomi ümber leitud juurte summa ja erinevuse korrutisena:
4x² – 36a² = (2x + 6a) (2x – 6a)
Loe ka: Algebraline arvutus monomialidega – õppige, kuidas need neli tehtust toimuvad
kahe kuubi summa
Kahe kuubi summa, see tähendab a³ + b³, saab arvestada kui:
a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
Näide:
Polünoomi kordamine:
x³ + 8
Teame, et 8 = 2³, seega:
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 2²)
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 4)
Kahe kuubi erinevus
Kahe kuubi erinevus, see tähendab a³ – b³, erinevalt kahe kuubi summast, saab arvestada kui:
a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
Näide:
Tegutsege polünoom
8x³ - 27
Me teame seda:
8x³ = (2x) ³
27 = 3³
Seega peame:
\(8x^3-27=\vasak (2x-3\parem)\)
\(8x^3-27=\vasak (2x-3\parem)\vasak (4x^2+6x+9\parem)\)
Lahendas ülesandeid faktooringupolünoomide kohta
küsimus 1
Polünoomifaktoriseerimise kasutamine algebralise väljenduse lihtsustamiseks \(\frac{x^2+4x+4}{x^2-4},\), leiame:
a) x + 2
B) x - 2
Ç) \(\frac{x-2}{x+2}\)
D) \(\frac{x+2}{x-2}\)
E) (x - 2) (x + 2)
Resolutsioon:
Alternatiiv D
Lugejat vaadates näeme, et x² + 4x + 4 on täiusliku ruuttrinoomi juhtum ja selle saab ümber kirjutada järgmiselt:
x² + 4x + 4 = (x + 2)²
Lugeja x² – 4 on kahe ruudu erinevus ja selle saab ümber kirjutada järgmiselt:
x² - 4 = (x + 2) (x - 2)
Seetõttu:
\(\frac{\left (x+2\right)^2}{\left (x+2\right)\left (x-2\right)}\)
Pange tähele, et termin x + 2 esineb nii lugejas kui ka nimetajas, seega on selle lihtsustus järgmine:
\(\frac{x+2}{x-2}\)
küsimus 2
(Unifil Institute) Arvestades, et kaks arvu x ja y on sellised, et x + y = 9 ja x² – y² = 27, on x väärtus võrdne:
a) 4
B) 5
C) 6
D) 7
Resolutsioon:
Alternatiiv C
Pange tähele, et x² – y² on kahe ruudu vahe ja seda saab arvutada summa ja erinevuse korrutisena:
x² – y² = (x + y) (x – y)
Teame, et x + y = 9:
(x + y) (x - y) = 27
9 (x - y) = 27
x - y = 27:9
x - y = 3
Seejärel saame seadistada a võrrandisüsteem:
Kahe rea lisamine:
2x + 0 a = 12
2x = 12
x = \(\frac{12}{2}\)
x = 6
Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Matemaatika õpetaja
Allikas: Brasiilia kool - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatoracao-de-polinomio.htm
