An polünoomvõrrand iseloomustab a polünoom võrdne nulliga. Seda saab iseloomustada polünoomi astmega ja mida suurem see aste, seda suurem on raskusaste selle lahenduse või juure leidmisel.
Samuti on selles kontekstis oluline mõista, mis on algebra põhiteoreem, mis seda väidab igal polünoomvõrrandil on vähemalt üks komplekslahend, teisisõnu: esimese astme võrrandil on vähemalt üks lahend, teise astme võrrandil on vähemalt kaks lahendit ja nii edasi.
Loe ka: Millised on polünoomide klassid?
Mis on polünoomvõrrand
Polünoomvõrrandit iseloomustab see, et polünoom on võrdne nulliga, seega iga P(x) = 0 tüüpi avaldis on polünoomvõrrand, kus P(x) on polünoom. Allpool on polünoomvõrrandi üldine juhtum ja mõned näited.
Kaalugeei, an -1, a n -2, …,1, a0 ja x reaalarvud, ja n on positiivne täisarv, järgmine avaldis on n-astme polünoomvõrrand.
- Näide
Järgmised võrrandid on polünoomid.
a) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
b) 5x2 – 3 = 0
c) 6x – 1 = 0
d) 7x3 – x2 + 4x + 3 = 0
Nagu polünoomidel, on ka polünoomvõrranditel oma aste. Polünoomvõrrandi astme määramiseks leidke lihtsalt suurim võimsus, mille koefitsient erineb nullist. Seetõttu on eelmiste punktide võrrandid vastavalt:
a) Võrrand on pärit neljas aste:3x4+ 4x2 – 1 = 0.
b) Võrrand on pärit Keskkool:5x2 – 3 = 0.
c) Võrrand on pärit esimene kraad:6x – 1 = 0.
d) võrrand on kolmas aste: 7x3– x2 + 4x + 3 = 0.
Kuidas lahendada polünoomvõrrandit?
Polünoomvõrrandi lahendamise meetod sõltub selle astmest. Mida suurem on võrrandi aste, seda keerulisem on seda lahendada. Selles artiklis näitame polünoomvõrrandite lahendamise meetodit esimene aste, teine aste ja bisquare.
Esimese astme polünoomvõrrand
Esimese astme polünoomvõrrandit kirjeldab a 1. astme polünoom. Seega saame kirjutada esimese astme võrrandi üldiselt järgmiselt.
Mõelge kahele reaalarvule The ja B kui ≠ 0, on järgmine avaldis esimese astme polünoomvõrrand:
ax + b = 0
Selle võrrandi lahendamiseks peame kasutama samaväärsuse põhimõte, ehk kõike, mida opereeritakse ühel pool võrdsust, tuleb opereerida ka teisel poolel. Esimese astme võrrandi lahendi määramiseks peame isoleerida tundmatu. Selleks on esimene samm kõrvaldada B võrdsuse vasakul küljel ja seejärel lahutadaaerud b võrdsuse mõlemal poolel.
kirves + b - B = 0 - B
kirves = - b
Pange tähele, et tundmatu x väärtust ei eraldata, koefitsient a tuleb võrdsuse vasakult poolelt elimineerida ja selleks jagame mõlemad pooled The.
- Näide
Lahendage võrrand 5x + 25 = 0.
Probleemi lahendamiseks peame kasutama samaväärsuse põhimõtet. Protsessi hõlbustamiseks jätame välja tehte kirjutamise võrdsuse vasakule küljele, olles samaväärne sellega, et me anname numbri teisele poole, muutes märki (pöördtehte).
Lisateavet seda tüüpi võrrandite lahendamise kohta leiate meie tekstist: Esimese astme võrrand tundmatuga.
Teise astme polünoomvõrrand
Teise astme polünoomvõrrandil on a tunnus teise astme polünoom. Niisiis, arvestage a, b ja c reaalarve, mille a ≠ 0. Teise astme võrrandi annab:
kirves2 + bx + c = 0
Teie lahenduse saab määrata meetodi abil bhaskara või faktooringu teel. Kui soovite seda tüüpi võrrandite kohta rohkem teada saada, lugege: Eqtegevus steiseks grau.
→ Bhaskara meetod
Bhaskara meetodit kasutades saadakse selle juured järgmise valemiga:
- Näide
Leia võrrandi x lahend2 – 3x + 2 = 0.
Pange tähele, et võrrandi koefitsiendid on vastavalt a = 1, b = – 3 ja c = 2. Asendades need väärtused valemis, peame:
→ Faktoriseerimine
Vaata, et avaldist x on võimalik faktoristada2 – 3x + 2 = 0, kasutades ideed polünoomiline faktoriseerimine.
x2 – 3x + 2 = 0
(x – 2) · (x – 1) = 0
Pange tähele, et meie korrutis on võrdne nulliga ja korrutis võrdub nulliga ainult siis, kui üks teguritest on võrdne nulliga, seega peame:
x – 2 = 0
x = 2
või
x - 1 = 0
x = 1
Vaadake, et leidsime võrrandi lahenduse kahe erineva meetodi abil.
bi-ruut võrrand
THE bisquare võrrand see on neljanda astme polünoomvõrrandi erijuhtum, kirjutatakse tavaliselt neljanda astme võrrand järgmisel kujul:
kirves4 + bx3 + kast2 + dx + e = 0
kus numbrid a B C D ja ja on reaalsed, kui ≠ 0. Neljanda astme võrrandit peetakse bisquariks, kui koefitsiendid b = d = 0, see tähendab, et võrrand on kujul:
kirves4 + kast2 + ja = 0
Vaadake allolevast näitest, kuidas seda võrrandit lahendada.
- Näide
Lahendage x võrrand4 - 10x2 + 9 = 0.
Võrrandi lahendamiseks kasutame järgmist tundmatut muudatust ja kui võrrand on bisquare, teeme selle muudatuse.
x2 =p
Bi-ruutvõrrandist märkige, et x4 = (x2)2 ja seetõttu peame:
x4 - 10x2 + 9 = 0
(x2)2 – 10x2 + 9 = 0
jaoks2 – 10p + 9 = 0
Vaadake, et meil on nüüd teise astme polünoomvõrrand ja saame kasutada Bhaskara meetodit järgmiselt:
Siiski peame meeles pidama, et harjutuse alguses tehti tundmatu muudatus, seega peame rakendama asenduses leitud väärtust.
x2 =p
Kui p = 9 on meil järgmine:
x2 = 9
x’ = 3
või
x'' = – 3
Kui p = 1
x2 = 1
x’ = 1
või
x'' = – 1
Seetõttu on bisquare võrrandi lahenduskomplekt:
S = {3, –3, 1, –1}
Loe ka: Briot-Ruffini praktiline seade – polünoomide jagamine
Algebra põhiteoreem (TFA)
Algebra (TFA) põhiteoreem, mille Gauss tõestas 1799. aastal, väidab, et igal järgneval polünoomvõrrandil on vähemalt üks kompleksjuur.
Polünoomvõrrandi juur on selle lahend, st tundmatu väärtus on see, mis muudab võrdsuse tõeseks. Näiteks esimese astme võrrandil on juur juba määratud, nagu ka teise astme võrrandil, millel on vähemalt kaks juurt, ja bisquare'il, millel on vähemalt neli juurt.
lahendatud harjutusi
küsimus 1 – Määrake x väärtus, mis muudab võrdsuse tõeseks.
2x – 8 = 3x + 7
Resolutsioon
Pange tähele, et võrrandi lahendamiseks on vaja see organiseerida, st jätta kõik tundmatud võrdsuse vasakusse serva.
2x – 8 = 3x + 7
2x – 3x = 7 + 8
– x = 15
Ekvivalentsusprintsiibi järgi saame võrdsuse mõlemad pooled korrutada sama arvuga ja kuna tahame leida x väärtust, siis korrutame mõlemad pooled –1-ga.
(–1)– x = 15(–1)
x = – 15
küsimus 2 – Marcosel on 20 R$ rohkem kui Joãol. Üheskoos õnnestub neil osta kaks paari tosse, millest igaüks maksab 80 R$ ja raha ei jätku. Mitu reaali on Johnil?
Resolutsioon
Oletame, et Markil on x reaali, kuna Johnil on 20 reaali rohkem, nii on tal x + 20.
Märgid → x reaalarvud
João → (x + 20) reaal
kuidas nad ostsid kaks paari tosse mis maksavad 80 reaali igaüks, nii et kui me paneme igaüks osad kokku, peame:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160–20
2x = 140
Seetõttu oli Markil 70 reaali ja Joãol 90 reaali.
autor Robson Luiz
Matemaatika õpetaja
Allikas: Brasiilia kool - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-polinomial.htm