Newtoni binoom on mis tahes numbriks tõstetud binoom ei mille peale ei see on loomulik number. Tänu füüsiku uuringutele Isaac Newton binoomide võimude kohta oli see võimalik kontrollida seaduspärasusi, mis hõlbustavad polünoomi kujutamist genereeritud binoomi jõul.
Neid seaduspärasusi jälgides sai see ka võimalikuks leida ainult üks terminitest polünoom, ilma et peaksite seda kõike arvutama, kasutades binoomi üldtermini valemit. Lisaks märkas Newton suhet kombinatoorne analüüsa ja Newtoni binoomid, mis selle tegi Pascali kolmnurk suurepärane vahend Newtoni binoomi praktilisemaks arendamiseks.
Loe ka: Briot-Ruffini seade - meetod polünoomide jagamiseks
Newtoni binoomi määratlus
Määratleme binoominapolünoom, millel on kaks mõistet. Mõnes matemaatika ja füüsika rakenduses on vaja arvutada binoomi võimsused. Protsessi hõlbustamiseks Isaac Newton märkas olulisi seaduspärasusi mis võimaldavad meil leida polünoomi, mis tuleneb binoomi võimsusest.
Mõnel juhul on arvutus üsna lihtne: lihtsalt tehke binoomi korrutamine iseenesest, kasutades levitavat omadust. Kuni tugevuseni suurusjärgus 3 areneme ilma suurema vaevata, kuna nad on tuntud märkimisväärsed tooted, kuid kõrgemate jõudude korral arvutage termini enda korrutamise põhjal ei mõnikord on see palju tööd.
Näited
Pidage meeles, et iga nullini tõstetud arv on võrdne 1-ga ja iga arv, mis on tõstetud 1-ni, on ise, mis kehtib ka binoomide kohta.
Newton märkas a mõiste koefitsientide ja kombinatsiooni suhe, mis võimaldas binoomi võimsuse arvutamist otse järgmise valemi abil:
Valemi mõistmine:
Kõigepealt vaatame iga termini sõnasõnalist osa, milleks on täht koos astendiga. Pange tähele, et iga termini eksponent “a ”vähenes, alustades n-st, seejärel n-1-ni ja nii edasi, kuni see oli eelviimases ja 0-s viimases terminis (mistõttu täht“ a ”ei ilmu isegi viimases terminis).
tuvastamine The ja selle eksponendid:
Nüüd analüüsime "b" astmeid, mis on alati kasvavad, alustades 0-st esimeses ametiajas ( mille tõttu täht b ei ilmu esimesel terminil), 1 teisel terminil ja nii edasi, kuni see on võrdne The eiviimasel ametiajal.
tuvastamine B ja selle eksponendid:
Sõna otsesest osast aru saades analüüsida koefitsiente, mis on kõik kombinatsioonid ei elemendid, mis on võetud vahemikust 0 kuni 0, 1 kuni 1, 2 kuni 2 ja nii edasi kuni viimase terminini, mis on kombinatsioon ei pärit elemendid ei aastal ei.
Tähelepanuväärne on see, et on oluline osata arvutada kombinatsioonid koefitsientide leidmiseks. Pidage meeles, et kombinatsioonide arvutamiseks peame:
Kombineeritud reaktsioon on alati a loomulik arv.
Vaadake ka: Polünoomjaotus: kuidas seda lahendada?
Näide: Arvutage Newtoni binoom (a + b) neljanda astmeni.
1. samm: kirjutage polünoom valemi abil.
2. samm: arvutage kombinatsioonid.
Kombinatsioonide asendamisega on leitud polünoom:
Näete, et selliste juhtumite lahendamine on eksponentist sõltuvalt endiselt töömahukas, kuid sellegipoolest on see kiirem kui jaotuse omaduse abil arvutamine. Tööriist, mis aitab seda arvutamist teha, on Pascali kolmnurk.
Pascali kolmnurk
Pascali kolmnurga töötas välja kombinatsioonide uurimisel Blaise Pascal. Ta on viis, mis muudab kombinatsioonide arvutamise lihtsamaks. Pascali kolmnurga kasutamine muudab Newtoni binoomi sõnasõnaliste osade koefitsientide leidmise kiiremaks ja hõlpsamaks, ilma et peaksite kõiki kombinatsioone välja arvutama.
Pascali kolmnurga otse ehitamiseks meenutagem kahte olukorda, kus kombinatsiooni arvutamine on võrdne 1-ga.
Seega on kõigi ridade esimene ja viimane tähtaeg alati võrdne 1-ga. Kesksed mõisted on ehitatud selle kohal oleva termini ja selle naabri summast eelmises veerus, nagu allpool toodud kujutisel:
Järgmiste ridade koostamiseks pidage meeles, et esimene termin on 1 ja viimane ka. Siis piisab kesksete mõistete avastamiseks summade tegemisest.
Juurdepääs ka: Polünoomi lagunemise teoreem
Näide: Arvutage (a + b) kuuenda astmeni.
1. samm: rakendage binoomi valemit.
2. samm: ehitada Pascali kolmnurk kuni 6. jooneni.
3. samm: asendage kombinatsioonid reas 6 olevate väärtustega, mis on binoomi iga termini koefitsiendid.
See, mis määrab binoomist ehitatavate ridade arvu, on n väärtus. Oluline on meeles pidada, et esimene rida on null.
Newtoni binoomne üldtermin
Newtoni üldmõiste binoom on valem, mis võimaldab arvutada binoomi termini ilma, et peaksime arendama tervet polünoomi, see tähendab, et saame tuvastage mõni termin esimesest viimaseni. Valemi abil arvutame otsitava termini otse välja.
Need: esimene ametiaeg
B: teine ametiaeg
n: eksponent
p + 1: otsingutermin
Näide: Leidke binoomi 11. termin (a + b)12.
Resolutsioon:
Vaadake ka: Meeleavaldused läbi algebraline arvutus
Harjutused lahendatud
Küsimus 1 - (Cesgranrio) x koefitsient4 polünoomis P (x) = (x + 2)6:
a) 64
b) 60
c) 12
d) 4
e) 24
Resolutsioon
Me tahame binomiumi lahendamisel leida konkreetse termini; selleks peame leidma p väärtuse.
Me teame, et esimene termin on sel juhul võrdne x-ga, nii et n - p = 4, nagu n = 6, on meil:
Seega on koefitsient 60 (alternatiiv B).
2. küsimus - (Unifor) Kui binoomarengu keskne termin (4x + ky)10 8064x jaoks5y5, siis on k väärtusele vastav alternatiiv järgmine:
a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 2
e) 4
Resolutsioon: Me teame, et keskterminil on võrdsed koefitsiendid (p = 5). Leiame kuuenda termini, kuna p + 1 = 6. Lisaks on meil a = 4x; b = ky ja n = 10, seega:
Alternatiiv D
Autor Raul Rodrigues de Oliveira
Matemaatikaõpetaja
Allikas: Brasiilia kool - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/binomio-de-newton.htm