Pascali kolmnurk: mis see on, funktsioon, omadused

O Pascali kolmnurk see on päris vana matemaatika tööriist. Ajaloo jooksul on see saanud mitu nime, kuid tänapäeval on need kõige populaarsemad aritmeetiline kolmnurk ja Pascali kolmnurk. Teine nimi on austusavaldus matemaatikule, kes andis selle kolmnurga uurimisse mitu panust. tähendab, et kolmnurga mõtles välja tema, kuid tema oli see, kes seda põhjalikumalt uuris tööriist.

Pascali kolmnurga omadustest on võimalik seda loogiliselt konstrueerida. Samuti paistab silma teie suhtega kombinatsioonid õppinud kombinatoorses analüüsis. Pascali kolmnurga liikmed vastavad ka binoomkoefitsientidele ja seetõttu on see väga kasulik mis tahes Newtoni binoomarvu arvutamisel.

Loe ka: Briot-Ruffini seade - meetod polünoomide jagamiseks

Pascali kolmnurga konstrueerimine

Pascali kolmnurk toodetakse kombinatsioonide tulemusestSiiski on olemas praktiline meetod, mis hõlbustab selle ehitamist. Esimene rida ja esimene veerg loetakse reaks nulliks ja veerguks nulliks. Saame kasutada nii palju ridu, kui vaja Selle konstruktsiooni korral võib kolmnurgal olla lõpmatu arv jooni. Ridade läbitöötamise põhjendus on alati sama. Vaata:

instagram story viewer

Me teame seda kolmnurga terminid on kombinatsioonidaastal õppis kombinatoorne analüüs. Pascali kolmnurga asendamiseks arvväärtustega teame, et arvu kombinatsioonid nulliga ja arvu endaga on alati võrdsed 1-ga. Seetõttu on esimene ja viimane väärtus alati 1.

Ülejäänud leidmiseks alustame 2. reaga, kuna rida 0 ja rida 1 on juba valmis. 2. reale kombinatsiooni 2 kuni 1 leidmiseks lisame ülaltoodud reale, st reale 1, samasse veergu selle kohal olev termin ja eelmises veerus selle kohal olev termin, nagu on näidatud pildil :

Pärast 2. liini ehitust on võimalik ehitada sama protseduuri teostades liin 3.

Seda protseduuri jätkates leiame kõik terminid – antud juhul kuni 5. reani –, kuid võimalik on ehitada nii palju liine kui vaja.

Pascali kolmnurga omadused

Seal on mõned Pascali kolmnurga omadused, selle ehituse korrapärasuse tõttu. Need omadused on kasulikud kombinatsioonidega töötamiseks, kolmnurkjoonte enda ehitamiseks ning joonte, veergude ja diagonaalide summa arvutamiseks.

1. vara

Esimene kinnistu oli see, mida kasutasime kolmnurga ehitamiseks. Nii et leida termin Pascali kolmnurgast, lisage lihtsalt termin, mis asub selle kohal olevas reas, ja sama veerg terminiga, mis on veerus ja reas enne seda. Seda omadust saab kujutada järgmiselt:

See vara on tuntud kui Stifeli suhe ja oluline on hõlbustada kolmnurga ehitamist ja leida iga joone väärtused.

2. vara

Kõigi rea terminite summa arvutatakse järgmiselt:

s_ei=2^ei, mille peal ei on rea number.

Näited:

Selle varaga on võimalik teada kõigi real olevate terminite summa ilma et peaks tingimata konstrueerima Pascali kolmnurka. Näiteks rea 10 summa saab arvutada 2-ga¹⁰= 1024. Kuigi kõiki termineid ei teata, on juba võimalik teada kogu rea summaväärtust.

3. vara

Terminite summa, mis järjestavad antud veeru algusest jaoks kuni teatud jooneni ei on sama mis real olev termin n+1 selg ja veerg p+1 hiljem, nagu allpool näidatud:

4. vara

Diagonaali summa, mis algab veerust 0 ja läheb terminile veerus p ja reas n, on võrdne samas veerus (p), kuid allolevas reas oleva liikmega (n+1), nagu on näidatud pildil. :

5. vara

Pascali kolmnurga joontes on sümmeetria. Esimene ja teine liige on võrdsed, teine ja eelviimane liige on võrdsed jne.

Näide:

6. rida: 1615 20 156 1.

Pange tähele, et terminid on kaks kuni kaks, välja arvatud keskne termin.

Vaata ka: Polünoomide jagunemine: kuidas seda lahendada?

Newtoni binoom

Defineerime Newtoni binoom a ühe võimsus polünoom millel on kaks mõistet. Binoomarvu arvutamine on seotud Pascali kolmnurgaga, millest saab mehhanism, mille abil arvutada, mida me nimetame binoomkoefitsientideks. Binoomi arvutamiseks kasutame järgmist valemit:

Pange tähele, et eksponendi väärtus The see väheneb, kuni viimasel liikmel on see võrdne The⁰. Teame, et iga 0-ni tõstetud arv on võrdne 1-ga, sellest ka termin The ei ilmu viimasel ametiajal. Pange tähele ka seda, et astendaja B algab B⁰, varsti B ei ilmu esimesel ametiajal ja suureneb kuni jõudmiseni B^ei, viimasel ametiajal.

Lisaks nimetatakse iga terminiga kaasnevat numbrit koefitsiendiks – antud juhul binoomkoefitsiendiks. Seda tüüpi binoomide lahendamise paremaks mõistmiseks vaadake meie teksti: Newtoni binoom.

binoomkoefitsient

Binoomkoefitsient pole midagi muud kui kombinatsioon, mille saab arvutada järgmise valemi abil:

Newtoni binoomarvu arvutamise hõlbustamiseks on aga hädavajalik kasutada Pascali kolmnurka, kuna see annab meile kombinatsiooni tulemuse kiiremini.

Näide:

Binoomkoefitsiendi tulemuse leidmiseks leiame Pascali kolmnurga 5. rea väärtused, mis on {1,5,10,10,5,1}.

(x+y)⁵= 1x⁵+5x⁴y+10x³y²+ 10x²y³+ 5xy⁴+1a⁵

Lihtsamalt öeldes:
(x+y)⁵= x⁵+5x⁴y+10x³y²+ 10x²y³+ 5xy⁴+y⁵

Pascali kolmnurk moodustatakse binoomkoefitsientide abil.

lahendatud harjutusi

Küsimus 1 - Kas alloleva avaldise väärtus on?

A) 8

B) 16

C) 2

D) 32

E) 24

Resolutsioon

Alternatiiv A.

Positiivsete ja negatiivsete väärtuste ümberrühmitamisel peame:

Pange tähele, et tegelikult arvutame Pascali kolmnurga rea 4 ja rea 3 vahelist lahutamist. Vara järgi teame, et:

s₄= 2⁴= 16

s₃= 2³= 8

16 – 8 = 8.

2. küsimus - Mis on alloleva avaldise väärtus?

A) 32

B) 28

C) 256

D) 24

E) 54

Resolutsioon

Alternatiiv B.

Pange tähele, et me lisame Pascali kolmnurga 1. veerus olevad terminid reale 7, seejärel 3. reale atribuut, on selle summa väärtus võrdne terminiga, mis asub reas 7+1 ja veerus 1+1, see tähendab rida 8, veerg 2. Kuna me tahame ainult ühte väärtust, pole kogu Pascali kolmnurga konstrueerimine mugav.