Pythagorase teoreem: lahendatud ja kommenteeritud harjutused

Pythagorase teoreem näitab, et täisnurkse kolmnurga korral on hüpotenuuse ruutu suurus võrdne jala mõõtude ruutude summaga.

Kasutage lahendatud ja kommenteeritud harjutusi, et vastata kõikidele kahtlustele selle olulise sisu osas.

Kavandatud harjutused (resolutsiooniga)

küsimus 1

Carlos ja Ana lahkusid kodust tööle samast punktist, hoone garaažist, kus nad elavad. 1 minuti pärast risti risti liikudes olid nad üksteisest 13 m kaugusel.

Kui Carlose auto tegi selle aja jooksul 7 m rohkem kui Ana, siis kui kaugel nad garaažist olid?

a) Carlos oli garaažist 10 m ja Ana 5 m kaugusel.
b) Carlos oli garaažist 14 m ja Ana 7 m kaugusel.
c) Carlos oli garaažist 12 m ja Ana 5 m kaugusel.
d) Carlos oli garaažist 13 m ja Ana 6 m kaugusel.

Vt vastus

Õige vastus: c) Carlos oli garaažist 12 m ja Ana 5 m kaugusel.

Selles küsimuses moodustunud täisnurga kolmnurga küljed on:

• hüpotenuus: 13 m
• suurem jalg: 7 + x
• lühem jalg: x

Rakendades Pythagorase teoreemi väärtusi, on meil:

Nüüd rakendame x väärtuse leidmiseks Bhaskara valemit.

Kuna see on pikkuse mõõt, peame kasutama positiivset väärtust. Seetõttu on selles küsimuses moodustatud täisnurga kolmnurga küljed järgmised:

• hüpotenuus: 13 m
• pikem jalg: 7 + 5 = 12 m
• lühem jalg: x = 5 m

Nii oli Ana garaažist 5 meetri ja Carlos 12 meetri kaugusel.

2. küsimus

Carla nägi kassipoega otsides teda puu otsas. Seejärel palus naine oma ema abi ja nad panid kassi alla aitamiseks redelid puu juurde.

Teades, et kass asus maapinnast 8 meetri kaugusel ja redeli alus asetses puust 6 meetri kaugusel, kui kaua redelit kassipoja päästmiseks kasutati?

a) 8 meetrit.
b) 10 meetrit.
c) 12 meetrit.
d) 14 meetrit.

Vt vastus

Õige vastus: b) 10 meetrit.

Pange tähele, et kassi kõrgus ja redeli aluse paiknemise kaugus moodustavad täisnurga, see tähendab 90-kraadise nurga. Kuna redel paikneb täisnurga vastas, vastab selle pikkus täisnurga kolmnurga hüpotenuusile.

Rakendades Pythagorase teoreemis antud väärtusi, avastame hüpotenuusi väärtuse.

Seetõttu on redeli pikkus 10 meetrit.

3. küsimus

Milline esitab täisnurga kolmnurga väärtused vastavalt allpool toodud alternatiivides toodud meetmetele?

a) 14 cm, 18 cm ja 24 cm
b) 21 cm, 28 cm ja 32 cm
c) 13 cm, 14 cm ja 17 cm
d) 12 cm, 16 cm ja 20 cm

Vt vastus

Õige vastus: d) 12 cm, 16 cm ja 20 cm.

Et teada saada, kas esitatud mõõdud moodustavad täisnurga, peame iga alternatiivi puhul kasutama Pythagorase teoreemi.

a) 14 cm, 18 cm ja 24 cm

b) 21 cm, 28 cm ja 32 cm

c) 13 cm, 14 cm ja 17 cm

d) 12 cm, 16 cm ja 20 cm

Seetõttu vastavad mõõtmed 12 cm, 16 cm ja 20 cm täisnurga kolmnurga külgedele, kuna hüpotenuusi ruut, pikim külg, on võrdne jalgade ruudu summaga.

4. küsimus

Pange tähele järgmisi geomeetrilisi jooniseid, mille üks külg asub täisnurga kolmnurga hüpotenuusis mõõtmetega 3 m, 4 m ja 5 m.

Leidke võrdkülgse kolmnurga BCD kõrgus (h) ja ruudu BCFG diagonaalväärtus (d).

a) h = 4,33 m ja d = 7,07 m
b) h = 4,72 m ja d = 8,20 m
c) h = 4,45 m ja d = 7,61 m
d) h = 4,99 m ja d = 8,53 m

Vt vastus

Õige vastus: a) h = 4,33 m ja d = 7,07 m.

Kuna kolmnurk on võrdkülgne, tähendab see, et selle kolmel küljel on sama mõõde. Joonistades kolmnurga kõrgusele vastava joone, jagame selle kaheks täisnurkseks kolmnurgaks.

Sama lugu on ruuduga. Kui joonistame selle diagonaaljoone, näeme kahte täisnurkset kolmnurka.

Rakendades Pythagorase teoreemi lause lause andmeid, avastame väärtused järgmiselt:

1. Kolmnurga (täisnurkse kolmnurga jala) kõrguse arvutamine:

Seejärel jõuame kõrguse arvutamise valemini. Nüüd asendage lihtsalt L väärtus ja arvutage see.

2. Ruudu diagonaali arvutamine (täisnurga kolmnurga hüpotenuus):

Seetõttu on võrdkülgse kolmnurga BCD kõrgus 4,33 ja ruudu BCFG diagonaalväärtus 7,07.

Vaadake ka: Pythagorase teoreem

Sisseastumiseksami probleemid on lahendatud

5. küsimus

(Cefet / MG - 2016) Lohe, mille joonis on näidatud allpool, ehitati ABCD neljakülgses vormis, olles ja . pulk lohe ristub vardaga keskpunktis E, moodustades täisnurga. Selle tuulelohe ehitamisel on võetud kasutatud on vastavalt 25 cm ja 20 cm ning mõõtmetega võrdub meetmest .

Nendel tingimustel on , cm, on võrdne

a) 25.
b) 40.
c) 55.
d) 70.

Vt vastus

Õige alternatiiv: c) 55.

Küsimuse joonist jälgides näeme, et DE segment, mille soovime leida, on BE segmendi lahutades sama mis BD segment.

Niisiis, kuna me teame, et segment BE on võrdne 20 cm-ga, peame leidma segmendi BD väärtuse.

Pange tähele, et probleem annab meile järgmise teabe:

Nii et BD mõõtme leidmiseks peame teadma segmendi AC väärtust.

Kuna punkt E jagab segmendi kaheks võrdseks osaks (keskpunkt), siis . Seetõttu on esimene samm leida CE-segmendi mõõt.

CE-mõõtmise leidmiseks tuvastasime, et kolmnurk BCE on ristkülik, et BC on hüpotenuus ning BE ja CE on jalad, nagu on näidatud alloleval pildil:

Seejärel rakendame jalamõõdu leidmiseks Pythagorase teoreemi.

25² = 20²+ x²
625 = 400 + x²
x² = 625 - 400
x² = 225
x = √225
x = 15 cm

Krae leidmiseks oleksime võinud ka täheldada, et kolmnurk on Pythagorase, see tähendab, et selle külgede mõõtmed on kolmnurga 3, 4, 5 mõõtude mitu numbrit.

Seega, kui korrutame 4 5-ga, on krae väärtus (20) ja kui korrutame 5 5-ga, on meil hüpotenuus (25). Seetõttu võis teine ​​jalg olla ainult 15 (5. 3).

Nüüd, kui oleme leidnud EÜ väärtuse, võime leida muud meetmed:

AC = 2. CE = AC = 2,15 = 30 cm

Seetõttu on on võrdne 55 cm.

Vaadake ka: Pythagoras

küsimus 6

(IFRS - 2017) Vaatleme 5√3 ܿ݉ küljega võrdkülgset kolmnurka. Mis on vastavalt selle kolmnurga kõrgus ja pindala?

Vt vastus

Õige alternatiiv: e) 7,5 cm ja 75√3 / 4 cm²

Kõigepealt joonistame võrdkülgse kolmnurga ja joonistame kõrguse, nagu on näidatud alloleval pildil:

Pange tähele, et kõrgus jagab aluse sama mõõtme kaheks osaks, kuna kolmnurk on võrdkülgne. Pange tähele ka seda, et joonisel olev kolmnurk ACD on täisnurkne kolmnurk.

Seega kasutame kõrgusmõõdu leidmiseks Pythagorase teoreemi:

Teades kõrguse mõõtmist, võime ala leida järgmise valemi kaudu:

7. küsimus

(IFRS - 2016) Alloleval joonisel on vastavalt x ja y väärtus

Vt vastus

Õige alternatiiv: a) 4√2 ja √97.

X väärtuse leidmiseks rakendame Pythagorase teoreemi täisnurksele kolmnurgale, mille küljed on 4 cm.

x² = 4² + 4²
x² = 16 + 16
x = √32
x = 4√2 cm

Y väärtuse leidmiseks kasutame ka Pythagorase teoreemi, arvestades nüüd, et üks jalg on 4 cm ja teine ​​9 cm (4 + 5 = 9).

y² = 4² + 9²
y² = 16 + 81
y = √97 cm

Seetõttu on x ja y väärtus vastavalt 4√2 ja √97.

8. küsimus

(Apprentice Sailor - 2017) Vaadake allolevat joonist.

Ülaltoodud joonisel on võrdkülgne kolmnurk ACD, milles segment AB on 3 cm, ebavõrdne külg AD 10√2 cm ning segmendid AC ja CD on risti. Seetõttu on õige öelda, et BD segment mõõdab:

a) √53 cm
b) √97 cm
c) √111 cm
d) √149 cm
e) √161 cm

Vt vastus

Õige alternatiiv: d) √149 cm

Võttes arvesse probleemis esitatud teavet, koostame järgmise joonise:

Joonise järgi leiame, et x väärtuse leidmiseks on vaja leida selle külje mõõt, mida nimetame a-ks.

Kuna kolmnurk ACD on ristkülik, rakendame jala väärtuse leidmiseks Pythagorase teoreemi.

Nüüd, kui me teame a väärtust, võime leida x väärtuse, võttes arvesse täisnurkset kolmnurka BCD.

Pange tähele, et jalg BC võrdub jala mõõtmisega miinus 3 cm, see tähendab 10 - 3 = 7 cm. Rakendades sellele kolmnurgale Pythagorase teoreemi, on meil:

Seetõttu on õige öelda, et BD segmendi mõõtmed on √149 cm.

küsimus 9

(IFRJ - 2013) Föderaalinstituudi Arrozali ülikoolilinnakus asuv spordihoov on ristkülikukujuline, 100 m pikk ja 50 m lai, mida joonisel kujutab ristkülik ABCD.

Alberto ja Bruno on kaks õpilast, kes sportivad sisehoovis. Alberto kõnnib punktist A punkti C mööda ristküliku diagonaali ja naaseb sama rada pidi alguspunkti. Bruno alustab punktist B, läheb mööda hoovi kõndides mööda õue täielikult ümber ja naaseb alguspunkti. Seega, kui arvestada √5 = 2.24, on öeldud, et Bruno kõndis rohkem kui Alberto

a) 38 m.
b) 64 m.
c) 76 m.
d) 82 m.

Vt vastus

Õige alternatiiv: c) 76 m.

Ristküliku diagonaal jagab selle kaheks täisnurgaks, hüpotenuus on diagonaal ja küljed ristküliku külgedega võrdsed.

Niisiis, diagonaalmõõdu arvutamiseks rakendame Pythagorase teoreemi:

Kusjuures Alberto läks ja tuli tagasi, nii et ta läbis 224 m.

Bruno läbis ristküliku ümbermõõduga võrdse vahemaa, teisisõnu:

p = 100 + 50 + 100 + 50
p = 300 m

Seetõttu kõndis Bruno Albertost 76 m kauem (300 - 112 = 76 m).

10. küsimus

(Vaenlane - 2017) Laste peolaua kaunistamiseks kasutab peakokk kerakujulist melonit läbimõõduga 10 cm, mis on toeks erinevate maiustuste vardas. See eemaldab melonilt kerakujulise korgimütsi, nagu joonisel näidatud, ja selle toe stabiilsuse tagamiseks: melonil on raske lauale veereda, lõikab ülemus nii, et ringikujulise lõigu raadius r oleks karvane. miinus 3 cm. Teisalt soovib peakokk saada piirkonnas võimalikult suurt ala, kus maiustusi kinnitatakse.

Kõigi eesmärkide saavutamiseks peab ülemus lõikama melonimütsi kõrguselt h sentimeetrites, mis võrdub

Vt vastus

Õige alternatiiv: c) 1

Jälgides küsimuses esitatud joonist, tegime kindlaks, et kõrguse h saab leida, vähendades sektsiooni OA mõõdet kera raadiuse (R) mõõtest.

Sfääri raadius (R) on võrdne poole selle läbimõõdust, mis on sel juhul võrdne 5 cm-ga (10: 2 = 5).

Seega peame leidma OA segmendi väärtuse. Selleks kaalume alloleval joonisel kujutatud kolmnurka OAB ja rakendame Pythagorase teoreemi.

5² = 3² + x²
x² = 25 - 9
x = √16
x = 4 cm

Samuti võiksime otseselt leida x väärtuse, märkides, et see on Pythagorase kolmnurk 3,4 ja 5.

Seega on h väärtus võrdne järgmisega:

h = R - x
h = 5-4
h = 1 cm

Seetõttu peaks kokk lõikama melonimütsi 1 cm kõrguselt.

11. küsimus

(Enem - 2016 - 2. rakendus) Boccia on spordiala, mida mängitakse väljakutel, mis on tasased ja tasased, piiratud perimeetri puitplatvormidega. Selle spordiala eesmärk on selleks visata petanke, mis on sünteetilisest materjalist pallid asetage need võimalikult lähedale bolimile, mis on varem eelistatavalt terasest väiksem pall käivitatud. Joonis 1 illustreerib bocce palli ja bolimit, mida mängiti väljakul. Oletame, et mängija on visanud 5 cm raadiusega palli, mis on toetunud boolimile, raadiusega 2 cm, nagu on näidatud joonisel 2.

Pidage palli keskpunktiks punkti C ja palli keskpunktiks punkti O. On teada, et A ja B on punktid, kus boksipall ja boliin puudutavad väljaku maad ning A ja B vaheline kaugus on võrdne d-ga. Milline on nendes tingimustes d ja bolimi raadiuse suhe?

Vt vastus

Õige alternatiiv: e) √10

Punktide A ja B vahelise kauguse d väärtuse arvutamiseks ehitame joonise, mis ühendab kahe sfääri keskpunkte, nagu allpool näidatud:

Pange tähele, et sinine punktiirjoonis on trapetsi kujuline. Jagame selle trapetsi, nagu allpool näidatud:

Trapetsi jagades saame ristküliku ja täisnurga kolmnurga. Kolmnurga hüpotenuus on võrdne boksipalli raadiuse ja bolimi raadiuse summaga, see tähendab 5 + 2 = 7 cm.

Ühe jala mõõtmine on võrdne d-ga ja teise jala mõõt võrdub segmendi CA mõõtmisega, mis on boksipalli raadius, millest lahutatakse boliimi raadius (5 - 2 = 3) .

Nii võime leida d-mõõtme, rakendades sellele kolmnurgale Pythagorase teoreemi, see on:

7² = 3² -²
d² = 49 - 9
d = √40
d = 2 √10

Seetõttu antakse vahemaa d ja boliimi suhe järgmiselt:.

küsimus 12

(Enem - 2014) Iga päev tarbib elukoht 20 160 Wh. Selles elukohas on 100 päikesepatareid ristkülikukujuline (seadmed, mis muudavad päikesevalguse elektrienergiaks) mõõtmetega 6 cm x 8 cm. Iga selline rakk toodab kogu päeva jooksul 24 Wh diagonaali sentimeetri kohta. Selle maja omanik soovib päevas toota täpselt sama palju energiat, kui tema maja tarbib. Mida peaks see omanik tema eesmärgi saavutamiseks tegema?

a) Eemaldage 16 lahtrit.
b) Eemaldage 40 lahtrit.
c) Lisage 5 lahtrit.
d) Lisage 20 rakku.
e) Lisage 40 lahtrit.

Vt vastus

Õige alternatiiv: a) Eemaldage 16 lahtrit.

Kõigepealt peate välja selgitama, milline on iga raku energiatoodang. Selleks peame leidma ristküliku diagonaali mõõtme.

Diagonaal on võrdne kolmnurga hüpotenuusiga, mille jalad on 8 cm ja 6 cm. Seejärel arvutame diagonaali, kasutades Pythagorase teoreemi.

Siiski täheldame, et kõnealune kolmnurk on Pythagorase, olles kolmnurga 3,4 ja 5 mitmekordne.

Sel viisil võrdub hüpotenuusi mõõt 10 cm, kuna Pythagorase kolmnurga 3,4 ja 5 küljed korrutatakse 2-ga.

Nüüd, kui teame diagonaalmõõtmist, saame arvutada 100 raku toodetud energia, st:

E = 24. 10. 100 = 24 000 Wh

Kuna tarbitav energia on võrdne 20 160 Wh-ga, peame vähendama rakkude arvu. Selle numbri leidmiseks teeme järgmist.

24 000 - 20 160 = 3840 Wh

Jagades selle väärtuse raku toodetud energiaga, leiame arvu, mida tuleks vähendada, see tähendab:

3840: 240 = 16 rakku

Seetõttu peaks omaniku tegevus tema eesmärgi saavutamiseks olema 16 lahtri eemaldamine.

Lisateabe saamiseks vaadake ka: Trigonomeetria harjutused