THE tõenäosusteooria on matemaatika haru, mis uurib eksperimente või juhuslikke nähtusi ja selle kaudu on võimalik analüüsida teatud sündmuse toimumise võimalusi.
Tõenäosuse arvutamisel seostame teatud määral kindlust, et toimuvad võimalikud katsetulemused, mille tulemusi ei saa eelnevalt kindlaks määrata.
Sel viisil seostatakse tõenäosuse arvutamisel tulemuse toimumine väärtusega, mis varieerub vahemikus 0 kuni 1, ja mida lähemal on tulemus 1, seda suurem on selle esinemise kindlus.
Näiteks võime välja arvutada tõenäosuse, et inimene ostab võiduka loteriipileti või teab tõenäosust, et paaril on 5 last, kõik poisid.
juhuslik eksperiment
Juhuslik eksperiment on selline, mis ei suuda enne selle läbiviimist ennustada, milline tulemus leitakse.
Seda tüüpi sündmused, kui neid korratakse samades tingimustes, võivad anda erinevaid tulemusi ja see ebakindlus on omistatud juhusele.
Juhusliku katse näide on erapooletu matriitsi (homogeense massijaotusega stants) veeretamine ülespoole. Kukkumisel pole võimalik kindlalt ennustada, milline neist 6 näost jääb ülespoole.
Tõenäosuse valem
Juhusliku nähtuse korral on sündmuse toimumise tõenäosus võrdselt tõenäoline.
Seetõttu võime leida antud tulemuse tõenäosuse, jagades soodsate sündmuste arvu ja võimalike tulemuste koguarvu:
Olles:
p (A): sündmuse toimumise tõenäosus
juures): meid huvitavate juhtumite arv (sündmus A)
n (Ω): võimalike juhtumite koguarv
Näited
1) Kui veeretame täiusliku matriitsi, siis kui suur on tõenäosus, et alla 3 arv veereb?
Lahendus
Täiusliku surmana on kõigil kuuel näol võrdsed võimalused näost ülespoole kukkuda. Nii et rakendame tõenäosuse valemit.
Selleks peame arvestama, et meil on 6 võimalikku juhtumit (1, 2, 3, 4, 5, 6) ja et sündmusel "arvust vähem kui 3" on 2 võimalust, see tähendab arvul 1 või number 2. Nii et meil on:
2) Kaardipakk koosneb 52 kaardist, mis on jagatud neljaks ülikonnaks (südamed, klubid, briljantid ja labidad) ning igas kaardis on 13 kaarti. Seega, kui juhuslikult kaarti tõmmata, siis kui suur on kaardi tõenäosus klubiülikonnast välja tulla?
Lahendus
Juhusliku kaardi joonistamisel ei saa me ette näha, mis see kaart saab olema. Nii et see on juhuslik eksperiment.
Sel juhul vastab kaartide arv võimalike juhtumite arvule ja meil on 13 klubi, mis esindavad soodsate sündmuste arvu.
Asendades need väärtused tõenäosuse valemis, on meil:
Proovipind
mida täht tähistab Ω, vastab valimisruum juhusliku eksperimendi käigus saadud võimalike tulemuste komplektile.
Näiteks kui pakist kaarti juhuslikult võtta, vastab prooviruum 52 kaardile, mis moodustavad selle teki.
Sarnaselt on valimisruumi vormi üks kord veeretades selle moodustavad kuus nägu:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5 ja 6}.
Sündmuste tüübid
Sündmus on juhusliku katse valimisruumi mis tahes alamhulk.
Kui sündmus on täpselt sama kui tema prooviruum, nimetatakse seda a õige sündmus. Ja vastupidi, kui sündmus on tühi, nimetatakse seda a võimatu sündmus.
Näide
Kujutage ette, et meil on kast pallidega, mis on nummerdatud vahemikku 1 kuni 20, ja et kõik pallid on punased.
Sündmus "joonista punane pall" on kindel sündmus, kuna kõik kastis olevad pallid on seda värvi. Sündmus "Joonista arv, mis on suurem kui 30" on võimatu, kuna kasti suurim arv on 20.
Kombinatoriaalne analüüs
Paljudes olukordades on juhusliku eksperimendi abil võimalik otseselt avastada võimalike ja soodsate sündmuste arv.
Mõne probleemi korral peate need väärtused siiski arvutama. Sel juhul saame kasutada permutatsiooni, paigutuse ja kombinatsiooni valemeid vastavalt küsimuses pakutud olukorrale.
Teema kohta lisateabe saamiseks minge:
- Kombinatoriaalne analüüs
- Kombinaatoranalüüsi harjutused
- Loendamise põhiprintsiip
- Permutatsioon
Näide
(EsPCEx - 2012) Arvude 1, 2, 3, 4, 5 ühe permutatsiooni juhusliku valiku korral on tõenäosus saada 2-ga jagatav arv.
Lahendus
Sel juhul peame välja selgitama võimalike sündmuste arvu, see tähendab, kui palju erinevaid numbreid saame, muutes antud 5 numbri järjestust (n = 5).
Kuna antud juhul moodustavad numbrite järjekord erinevad numbrid, siis kasutame permutatsioonivalemit. Seetõttu on meil:
Võimalikud sündmused:
Seetõttu võime 5-kohalise numbriga leida 120 erinevat numbrit.
Tõenäosuse arvutamiseks peame ikkagi leidma soodsate sündmuste arvu, mis antud juhul on leida 2-ga jagatav arv, mis juhtub siis, kui numbri viimane number on 2 või 4.
Arvestades, et viimase positsiooni jaoks on meil ainult need kaks võimalust, peame vahetama ülejäänud 4 positsiooni, mis moodustavad arvu, järgmiselt:
Soodsad sündmused:
Tõenäosus leitakse järgmiselt:
Loe ka:
- Pascali kolmnurk
- Kompleksarvud
- Matemaatika vaenlas
Harjutus lahendatud
1) PUC / RJ - 2013
Kui a = 2n + 1 n ∈ {1, 2, 3, 4} abil, siis arvu tõenäosus The paariks olemine on
kuni 1
b) 0,2
c) 0,5
d) 0,8
e) 0
Asendades iga võimaliku n väärtuse arvu a avaldisesse, märkame, et tulemus on alati paaritu arv.
Seetõttu on paarisarvuks olemine võimatu sündmus. Sel juhul on tõenäosus võrdne nulliga.
Alternatiiv: e) 0
2) UPE - 2013
Hispaania kursuse rühmas kavatsevad kolm inimest Tšiilis ja seitse Hispaanias vahetusprogrammi teha. Nende kümne inimese seast valiti kaks intervjuule, mis loosib stipendiume välismaal õppimiseks. Tõenäosus, et need kaks valitud inimest kuuluvad nende hulka, kes kavatsevad Tšiilis vahetust teha, on
Kõigepealt leiame võimalike olukordade arvu. Kuna kahe inimese valik ei sõltu järjekorrast, kasutame võimalike juhtumite arvu määramiseks kombinatsioonivalemit, st:
Seega on 45 inimest, kuidas valida 10 inimese hulgast 2 inimest.
Nüüd peame arvutama välja soodsate sündmuste arvu, see tähendab, et kaks loositud inimest soovivad vahetada Tšiilis. Jällegi kasutame kombinatsioonivalemit:
Seega on kolm võimalust valida 2 inimese seast 3, kes soovivad Tšiilis õppida.
Leitud väärtuste abil saame arvutada soovitud tõenäosuse asendamise valemis:
Alternatiiv: b)
Lisateavet mõne seotud teema kohta:
- Newtoni binoom
- Tõenäosusharjutused (lihtsad)
- Tõenäosusharjutused
- Statistika
- Statistika - harjutused
- Matemaatika valemid
