Sina numbrilised komplektid sisaldavad järgmisi komplekte: naturaalid (ℕ), täisarvud (ℤ), ratsionaalsed (ℚ), irratsionaalsed (I), parandused (ℝ) ja kompleksid (ℂ).
Kasutage kommenteeritud harjutusi, et kontrollida oma teadmisi selle olulise matemaatika teema kohta.
küsimus 1
Milline väide allpool vastab tõele?
a) Iga täisarv on ratsionaalne ja iga reaalarv on täisarv.
b) Ratsionaalsete arvude hulga ja irratsionaalsete arvude hulga ristumiskohas on 1 element.
c) arv 1,83333... on ratsionaalne arv.
d) Kahe täisarvu jagamine on alati täisarv.
Õige alternatiiv: c) arv 1,83333... on ratsionaalne arv.
Vaatame kõiki väiteid:
a) Vale. Tegelikult on iga täisarv ratsionaalne, kuna selle saab kirjutada murdarvuna. Näiteks arvu -7, mis on täisarv, saab kirjutada murdosana kui -7/1. Kuid mitte iga reaalarv pole täisarv, näiteks 1/2 pole täisarv.
b) Vale. Ratsionaalsete arvude hulgal pole ühist numbrit irratsionaalsete numbritega, kuna reaalarv on kas ratsionaalne või irratsionaalne. Seetõttu on ristmik tühi komplekt.
c) Tõsi. Number 1,83333... see on perioodiline kümnis, kuna number 3 kordab ennast lõpmatult. Selle numbri saab kirjutada murdarvuna 11/6, seega on see ratsionaalne arv.
d) Vale. Näiteks 7 jagatud 3-ga on võrdne 2,33333..., mis on perioodiline kümnendkoht, seega pole see täisarv.
2. küsimus
Allpool oleva avaldise väärtus, kui a = 6 ja b = 9, on:
a) paaritu looduslik arv
b) arv, mis kuulub irratsionaalsete arvude hulka
c) pole tegelik arv
d) täisarv, mille moodul on suurem kui 2
Õige alternatiiv: d) täisarv, mille moodul on suurem kui 2.
Kõigepealt asendame tähed näidatud väärtustega ja lahendame avaldise:
Pange tähele, et (-6)2 erineb - 6-st2, esimese toimingu saab teha järgmiselt: (-6)2 = (- 6). (- 6) = 36. Ilma sulgudeta on ruudus ainult 6, st - 62 = - (6.6) = -36.
Resolutsiooni jätkamisel on meil:
Pange tähele, et kuna juure indeks on paaritu arv (kuupjuur), on reaalarvude kogumis negatiivne arvjuur. Kui juurindeks oleks paarisarv, oleks tulemus kompleksarv.
Nüüd analüüsime kõiki esitatud võimalusi:
Valik The on vale, sest vastus on negatiivne arv, mis ei kuulu loodusarvude hulka.
Arv - 3 ei ole lõpmatu mitteperioodiline kümnendkoht, seega pole see irratsionaalne, seega täht B ka see pole õige lahendus.
Kiri ç on samuti vale, kuna arv - 3 on arv, mis kuulub reaalarvude hulka.
Õige variant saab olla ainult täht d ja tegelikult on avaldise tulemus täisarv ja moodul -3 on 3, mis on suurem kui 2.
3. küsimus
Milline alternatiiv esindab alltoodud tabeli komplektides (A ja B) kaasamise suhet?
Õige alternatiiv: a)
Alternatiiv "a" on ainus, kus üks komplekt kuulub teise hulka. Komplekt A sisaldab komplekti B või komplekt B on komplektis A.
Millised väited on õiged?
I - A C B
II - B C A
III - A B
IV - B Ɔ A
a) I ja II.
b) I ja III.
c) I ja IV.
d) II ja III.
e) II ja IV
Õige alternatiiv: d) II ja III.
I - Vale - A ei sisaldu B-s (A Ȼ B).
II - Õige - B sisaldub A-s (B C A).
III - õige - A sisaldab B-d (B Ɔ A).
IV - Vale - B ei sisalda A-d (B ⊅ A).
4. küsimus
Meil on hulk A = {1, 2, 4, 8 ja 16} ning komplekt B = {2, 4, 6, 8 ja 10}. Alternatiivide kohaselt asuvad elemendid 2, 4 ja 8?
Õige alternatiiv: c).
Elemendid 2, 4 ja 8 on mõlemale komplektile ühised. Seetõttu asuvad nad alamhulgas A ∩ B (A ristumiskoht B-ga).
5. küsimus
Arvestades komplekte A, B ja C, milline pilt tähistab A U (B ∩ C)?
Õige alternatiiv: d)
Ainus alternatiiv, mis vastab B ∩ C algtingimusele (sulgude tõttu) ja hiljem liitumisega A-ga.
küsimus 6
Kolme toote tarbijate ostuharjumuste tundmaõppimiseks viidi läbi uuring. Uuringu tulemused olid järgmised:
- 40% ostavad toodet A.
- 25% ostab toodet B.
- 33% ostavad toodet C.
- 20% ostab tooteid A ja B.
- 5% ostab tooteid B ja C.
- 19% ostab tooteid A ja C.
- 2% ostab kõik kolm toodet.
Nende tulemuste põhjal vastake:
a) Kui suur osa vastanutest ei osta ühtegi neist toodetest?
b) Kui suur osa vastanutest ostab tooteid A ja B ning ei osta toodet C?
c) Kui suur protsent vastanutest ostab vähemalt ühe toote?
Vastused:
a) 44% vastanutest ei tarbi ühtegi neist kolmest tootest.
b) 18% inimestest, kes tarbivad mõlemat toodet (A ja B), ei tarbi toodet C.
c) vähemalt ühte toodet tarbib 56% vastanutest.
Selle probleemi lahendamiseks koostame olukorra paremaks visualiseerimiseks skeemi.
Alustada tuleb alati kolme komplekti ristumiskohast. Seejärel lisame kahe komplekti ristumiskoha väärtuse ja lõpuks nende inimeste osakaalu, kes ostavad ainult ühte kaubamärki.
Märgatakse, et kahte toodet tarbivate inimeste protsent hõlmab ka kolme toodet tarbivate inimeste protsenti.
Seetõttu on diagrammil näidatud tarbijate protsent ainult kaks toodet. Selleks peame lahutama kolme toote tarbijate protsendi neist, kes tarbivad kahte toodet.
Näiteks on näidatud protsent, mis tarbib tooteid A ja B, 20%, kuid see väärtus sisaldab 2%, kes on seotud kolme toote tarbimisega.
Lahutades need väärtused, st 20% - 2% = 18%, leiame nende tarbijate protsendi, kes ostavad ainult tooteid A ja B.
Neid arvutusi arvesse võttes on kirjeldatud olukorra skeem järgmine, nagu on näidatud allpool oleval joonisel:
Selle skeemi põhjal saame nüüd vastata pakutud küsimustele.
) Nende osakaal, kes ühtegi toodet ei osta, on võrdne tervikuga, see tähendab 100%, välja arvatud see, et nad tarbivad mõnda toodet. Niisiis, peame tegema järgmise arvutuse:
100 - (3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11) = 100 - 56 = 44%
Varsti, 44% vastanutest ei tarbi ühtegi neist kolmest tootest.
B) Tarbijate protsent, kes ostavad tooteid A ja B ning ei osta toodet C, leitakse lahutades:
20 - 2 = 18%
Seetõttu 18% inimestest, kes tarbivad mõlemat toodet (A ja B), ei tarbi toodet C.
ç) Vähemalt ühte toodet tarbivate inimeste protsendi leidmiseks liidetakse lihtsalt kõik diagrammil olevad väärtused. Nii et meil on:
3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11 = 56%
Seega 56% vastanutest tarbib vähemalt ühte toodet.
7. küsimus
(Enem / 2004) Kosmeetikatootja otsustab koostada oma toodetele kolm erinevat kataloogi, mis on suunatud erinevatele vaatajaskondadele. Kuna mõnda toodet on rohkem kui ühes kataloogis ja need hõivavad terve lehe, otsustab ta trükitud originaalidega seotud kulude vähendamiseks loendada. Kataloogidel C1, C2 ja C3 on vastavalt 50, 45 ja 40 lehekülge. Võrreldes iga kataloogi kujundusi, leiab ta, et C1 ja C2 on 10 ühist lehekülge; C1 ja C3 on 6 ühist lehekülge; C2 ja C3 on 5 ühist lehte, millest 4 on ka C1 peal. Vastavate arvutuste tegemisel jõudis tootja järeldusele, et kolme kataloogi kokkupanekuks on vaja kokku originaale, mis võrdub järgmisega:
a) 135
b) 126
c) 118
d) 114
e) 110
Õige alternatiiv: c) 118
Selle küsimuse saame lahendada skeemi koostamisega. Selleks alustame lehtedest, mis on ühised kolmele kataloogile ehk 4 lehekülge.
Sealt näitame väärtused, lahutades need, mis on juba arvestatud. Seega on diagramm järgmine:
Väärtused leiti järgmiste arvutuste abil:
- Ristmik C1, C2 ja C3: 4
- Ristmik C2, C3: 5 - 4 = 1
- Ristmik C1 ja C3: 6 - 4 = 2
- Ristmik C1 ja C2: 10 - 4 = 6
- Ainult C1: 50 - 12 = 38
- Ainult C2: 45 - 11 = 34
- Ainult C3: 40 - 7 = 33
Lehekülgede arvu leidmiseks lisage lihtsalt kõik need väärtused, st:
4 + 1 + 2 + 6 + 38 +34 + 33 = 118
8. küsimus
(Enem / 2017) Selles termomeetri mudelis registreerivad fileed eelmise päeva minimaalsed ja maksimaalsed temperatuurid ja hallid fileed registreerivad praeguse ümbritseva õhu temperatuuri, st termomeeter.
Nii et sellel on kaks veergu. Vasakul on numbrid ülevalt alla kasvavas järjekorras vahemikus -30 ° C kuni 50 ° C. Parempoolses veerus on numbrid järjestatud kasvavas järjekorras, alt üles, vahemikus -30 ° C kuni 50 ° C.
Lugemine toimub järgmiselt:
- minimaalset temperatuuri näitab musta filee madalam tase vasakus veerus.
- maksimaalset temperatuuri näitab musta filee madalam tase paremas veerus.
- praegust temperatuuri näitab kahe veeru hallide filee ülemine tase.
Mis on selle termomeetri lähim maksimaalne temperatuur?
a) 5 ° C
b) 7 ° C
c) 13 ° C
d) 15 ° C
e) 19 ° C
Õige alternatiiv: e) 19 ° C
Probleemi lahendamiseks lugege lihtsalt musta filee paremas veerus olevat skaalat, mis tähistab maksimaalse temperatuuri rekordit.
küsimus 9
(Enem / 2017) Valimisuuringu tulemused valijate eelistuste kohta kahe kandidaadi suhtes esitati graafiku 1 abil.
Kui see tulemus ajalehes avaldati, lõigati graafik 1 küljenduse ajal, nagu on näidatud graafikul 2.
Kuigi esitatud väärtused on õiged ja veergude laius on sama, lugesid paljud lugejad kritiseeris ajalehes trükitud graafiku 2 vormingut, väites, et kandidaadil oli visuaalset kahju B. Veeru B ja veeru A kõrguste suhe graafikute 1 ja 2 vahel on järgmine:
a) 0
b) 1/2
c) 1/5
d) 2/15
e) 8/35
Õige alternatiiv: e) 8/35
Probleemi lahendamiseks peame kõigepealt leidma kahest graafikust veeru B ja veeru A kõrguse suhte. Need suhtarvud leitakse, lugedes igas veerus jaotuste arvu.
Pange tähele, et graafikul 1 on veerg A jagatud 7 võrdseks "tükiks", veerg B aga kolmeks. Graafikus 2 on veerg A jagatud viieks võrdseks "tükiks" ja veerg B ainult üheks.
Seetõttu saab veeru B ja veeru A kõrguse suhteid tähistavaid murdosa tähistada
Nüüd lahendage nende kahe murdarvu lahutamine, nii et meil on:
10. küsimus
(Enem / 2018) Logo loomiseks soovib graafilise disaini valdkonna professionaal selle ehitada, kasutades tasapinnal olevate punktide kogumit kolmnurga kujul, täpselt nagu pildil näidatud.
Sellise pildi loomiseks graafilise tööriista abil on vaja kirjutada algebraliselt komplekt, mis tähistab selle graafika punkte.
Selle komplekti annavad järjestatud paarid (x; y) ℕ x ℕ, selline, et
a) 0 ≤. x ≤ y ≤ 10
b) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10
c) 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10
d) 0 ≤ x + y ≤ 10
e) 0 ≤ x + y ≤ 20
Õige alternatiiv: b) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10
Pange tähele, et küsimuses väljendatud joonis nii y kui ka x teljel sisaldab loomulikke arve (ℕ x ℕ) vahemikus 0 kuni 10. Me peame: 0 ≤ y ≤ 10 ja 0 ≤ x ≤ 10.
Seega: y = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) ja x = (0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10 ). Kujutatav joonis on aga kolmnurk. Selle tingimuse täitmiseks järjestatud paarides y ei saa olla suurem kui x.
Pange tähele, et y väärtusi piirab võrdsus x väärtustega, moodustades selle täisnurga kolmnurga hüpotenuusi: (0,0), (1; 1), (2; 2), (3; 3 ), (4; 4), (5; 5)... (10; 10).
Seega peame: y ≤ x.
Varsti, 0 ≤ y ≤ x ≤ 10.
Lisateabe saamiseks lugege ka:
- Numbrilised komplektid
- reaalarvud
- Täisarvud
- Ratsionaalarvud
- irratsionaalsed arvud
- Looduslikud numbrid
- Kompleksarvud
- Harjutused komplektides
- Harjutused keerulistel numbritel
