Kolmnurkade sarnasus: kommenteeritud ja lahendatud harjutused

THE kolmnurga sarnasus kasutatakse ühe kolmnurga tundmatu mõõtme leidmiseks, teades teise kolmnurga mõõtmeid.

Kui kaks kolmnurka on sarnased, on nende vastavate külgede mõõtmed proportsionaalsed. Seda suhet kasutatakse paljude geomeetriliste probleemide lahendamiseks.

Niisiis, kasutage ära kommenteeritud ja lahendatud harjutused, et kõik oma kahtlused lahendada.

Küsimused on lahendatud

1) Meremehe praktikant - 2017

Vaadake allolevat joonist

Meremehe õpipoisi küsimus 2017 kolmnurkade sarnasus

Hoone heidab 30 m pikkuse varju maapinnale samal hetkel, kui kuue jalaga inimene heidab 2,0 m varju. Võib öelda, et hoone kõrgus on seda väärt

a) 27 m
b) 30 m
c) 33 m
d) 36 m
e) 40 m

Võime arvestada, et hoone, selle kavandatud vari ja päikesekiir moodustavad kolmnurga. Samamoodi on meil ka kolmnurk, mille moodustavad inimene, tema vari ja päikesekiir.

Arvestades, et päikesekiired on paralleelsed ning hoone, maapinna ja inimese vaheline nurk on maapind on võrdne 90º, alloleval joonisel näidatud kolmnurgad on sarnased (kaks nurka) võrdsed).

Meremehe õpipoisi küsimus 2017 kolmnurkade sarnasus

Kuna kolmnurgad on sarnased, võime kirjutada järgmise proportsiooni:

H üle 30 võrdub lugeja 1 koma 8 üle nimetaja 2 murdosa 2 otsa H võrdub 1 koma 8,30 H võrdub 54 üle 2 võrdub 27 tühikuga m

Alternatiiv: a) 27 m

2) Fuvest - 2017

Joonisel on ristküliku ABCD küljed pikkusega AB = 4 ja BC = 2. Olgu M külje keskpunkt B C ülemises raamis sulgeb raami ja N külje keskpunkt C D ülemises kaadris sulgeb raami. Segmendid Ülemises kaadris olev M sulgeb kaadri ruumi ja ruum A C ülemise kaadri korral kaadri lõik kinni B N ülemises raamis sulgeb raami punktides E ja F vastavalt.

Fuvest 2017 kahtleb kolmnurkade sarnasuses

Kolmnurga AEF pindala on võrdne

parempoolse sulgude tühik 24 üle 25 b parempoolse sulgude tühik 29 üle 30 c parempoolse sulguruumi 61 üle 60 d parempoolse sulgude tühiku 16 üle 15 ja parempoolse sulgude tühiku 23 üle 20

Kolmnurga AEF pindala leitakse, vähendades kolmnurga ABE pindala kolmnurga AFB pindalast, nagu allpool näidatud:

Fuvest 2017 kahtleb kolmnurkade sarnasuses

Alustame AFB kolmnurga ala leidmisega. Selleks peame välja selgitama selle kolmnurga kõrguse väärtuse, kuna baasväärtus on teada (AB = 4).

Pange tähele, et kolmnurgad AFB ja CFN on sarnased, kuna neil on kaks võrdset nurka (juhtum AA), nagu on näidatud alloleval joonisel:

Fuvest 2017 kahtleb kolmnurkade sarnasuses

Joonistame kõrguse H1kolmnurgas AFB külje AB suhtes. Kuna külje CB mõõt on võrdne 2, võime arvestada, et külje NC suhteline kõrgus kolmnurgas FNC on võrdne 2 - H1.

Fuvest 2017 kahtleb kolmnurkade sarnasuses

Seejärel saame kirjutada järgmise proportsiooni:

4 üle 2 on võrdne lugeja H 1 alaindeksiga üle nimetaja 2 miinus H koos 1 alaindeksiga murdosa lõpus 2 tühik vasakpoolne sulgudes 2 miinus H 1 alamindeksiga parempoolne sulg H võrdub 1 alamindeksiga 4 tühikuga miinus tühik 2 H 1 alamindeksiga võrdub H 1 alamindeksiga 3 H 1 alamindeksiga võrdub 4 H 1 alamindeksiga võrdub 4 üle 3

Teades kolmnurga kõrgust, saame arvutada selle pindala:

A juurdekasvuga A F B alaindeksi alaindeksi lõpp võrdub lugejaga b. h üle nimetaja 2 murdosa A lõpp koos juurdekasvuga A F B alaindeksi alaindeksi lõpp võrdub lugejaga 4. alguse stiilinäitus 4 üle 3 stiili lõpu üle nimetaja 2 murdosa A lõpp juurdekasvuga A F B alaindeksi alaindeksi lõpp on võrdne 16 üle 3,1 poole A koos juurdekasvuga A F B alaindeksi alaindeksi lõpp võrdub 8 umbes 3

Kolmnurga ABE ala leidmiseks peate arvutama ka selle kõrguse väärtuse. Selleks kasutame fakti, et allpool toodud joonisel näidatud kolmnurgad ABM ja AOE on sarnased.

Fuvest 2017 kahtleb kolmnurkade sarnasuses

Lisaks on kolmnurk OEB täisnurkne kolmnurk ja ülejäänud kaks nurka on võrdsed (45º), seega on see võrdhaarne kolmnurk. Seega on selle kolmnurga kaks jalga väärt H-d2, nagu alloleval pildil:

Fuvest 2017 kahtleb kolmnurkade sarnasuses

Seega on kolmnurga AOE külg AO võrdne 4 - H-ga2. Selle teabe põhjal võime näidata järgmise proportsiooni:

lugeja 4 üle nimetaja 4 miinus H koos 2 alaindeksi murdosa otsaga, mis on võrdne ühe osaga H üle 2 alaindeksi 4 H 2 alaindeksiga võrdub 4 miinus H 2 alamindeksiga võrdub 5 H 2 alamindeksiga võrdub 4 H ja 2 alaindeksiga võrdub 4 umbes 5

Teades kõrguse väärtust, saame nüüd arvutada kolmnurga ABE pindala:

A astmega A B E alaindeksi alaindeksi lõpp võrdub lugejaga 4. alguse stiilinäitus 4 üle 5 stiili lõpp nimetaja kohal 2 murdosa A lõpp juurdekasvuga A B E alaindeksi alaindeksi lõpp on võrdne 16 üle 5,1 poole A koos juurdekasvuga A B E alaindeksi alaindeksi lõpp võrdub 8 umbes 5

Seega võrdub kolmnurga AFE pindala järgmisega:

A juurdekasvuga A F E alaindeksi alaindeks võrdub A juurdekasvuga A F B alaindeksi alaindeksi lõpp miinus A juurdekasvuga A B E alaindeksi alaindeks A juurdekasvuga A F E alaindeksi alaindeksi lõpp võrdub 8 üle 3 miinus 8 üle 5 A juurdekasvuga A F E alaindeksi alaindeksi lõpp võrdub lugejaga 40 miinus 24 üle nimetaja 15 murdosa lõpp võrdub 16 umbes 15

Alternatiiv: d) 16 üle 15

3) Cefet / MG - 2015

Järgmine joonis kujutab ristkülikukujulist piljardilauda, ​​mille laius ja pikkus on vastavalt 1,5 ja 2,0 m. Mängija peab viskama valge pall punktist B ja lööma musta palli punktis P, ilma et ta lööks ühtegi teist. Kuna kollane on punktis A, viskab see mängija valge palli punkti L, et see saaks põrgatada ja musta vastu põrkuda.

Küsimus Cefet-mg 2015 kolmnurkade sarnasus

Kui palli langemisraja nurk laua küljel ja põrkenurk on võrdsed, nagu joonisel näidatud, on kaugus P-st Q-ni cm

a) 67
b) 70
c) 74
d) 81

Alloleval pildil punasega tähistatud kolmnurgad on sarnased, kuna neil on kaks võrdset nurka (nurk on võrdne α ja nurk on võrdne 90 °).

Cefet-MG 2015 seab kahtluse alla kolmnurkade sarnasuse

Seetõttu võime kirjutada järgmise proportsiooni:

lugeja x nimetaja kohal 0 koma 8 murdosa lõpp võrdub lugeja 1 üle nimetaja 1 koma 2 murdosa 1 lõpp koma 2 x võrdub 1,0 koma 8 x võrdub lugeja 0 koma 8 üle nimetaja 1 koma 2 murdosa lõpp võrdub 0 komaga 66... x ligikaudu võrdne 0 komaga 67 m tühik või u ruum 67 tühik c m

Alternatiiv: a) 67

4) Sõjakolledž / RJ - 2015

Kolmnurgas ABC kuuluvad punktid D ja E vastavalt külgedele AB ja AC ning on sellised, et DE / / BC. Kui F on AB punkt, mille EF / / CD ning AF ja FD e mõõtmised on vastavalt 4 ja 6, on segmendi DB mõõt:

a) 15.
b) 10.
c) 20.
d) 16.
e) 36.

Võime kujutada kolmnurka ABC, nagu allpool näidatud:

Sõjakolledži küsimus 2015 kolmnurkade sarnasus

Kuna segment DE on paralleelne BC-ga, on kolmnurgad ADE ja ABC sarnased selle poolest, et nende nurgad on omavahel kooskõlas.

Seejärel saame kirjutada järgmise proportsiooni:

lugeja 10 üle nimetaja 10 pluss murdosa x lõpp võrdub y üle z

Kolmnurgad FED ja DBC on samuti sarnased, kuna segmendid FE ja DC on paralleelsed. Seega kehtib ka järgmine osakaal:

6 üle y võrdub x üle z

Eraldades y selles proportsioonis, on meil:

y võrdub lugeja 6 z üle nimetaja x murdosa lõpp

Y-väärtuse asendamine esimese võrduse korral:

lugeja 10 üle nimetaja 10 pluss x murdosa lõpp võrdub lugeja alguslaadiga näita lugeja 6 z üle nimetaja x lõppu murdosa stiili lõpp nimetaja kohal z murdosa lugeja 10 lõpp nimega 10 pluss x murdosa lõpp võrdub lugeja 6 z üle nimetaja x murdosa lõpp. 1 üle z 10 x võrdub 60 pluss 6 x 10 x miinus 6 x võrdub 60 4 x võrdub 60 x võrdub 60 üle 4 x võrdub 15 ruumi cm

Alternatiiv: a) 15

5) Epcar - 2016

Täisnurkse kolmnurga kujuline maa jagatakse hüpotenuusi poolitusele tehtud aia abil kaheks osaks, nagu joonisel näidatud.

Kolmnurkade küsimuse sarnasus Epcar 2016

On teada, et selle maastiku küljed AB ja BC mõõdavad vastavalt 80 m ja 100 m. Seega on I osa ümbermõõdu ja II osa ümbermõõdu suhe selles järjekorras

paremad sulgud 5 üle 3 b paremad sulgud 10 üle 11 c paremad sulgud 3 üle 5 d paremad sulgud 11 üle 10

Perimeetrite vahelise suhte väljaselgitamiseks peame teadma joonise I ja II kõigi külgede väärtust.

Pange tähele, et hüpotenuusi poolitaja jagab BC külje kaheks ühtseks segmendiks, nii et CM ja MB segmendid on 50 m.

Kuna kolmnurk ABC on ristkülik, saame Pythagorase teoreemi abil arvutada külje AC. Pange tähele, et see kolmnurk on Pythagorase kolmnurk.

Seega, kui hüpotenuus on võrdne 100-ga (5. 20) ja üks kaks jalga on võrdne 80-ga (4,20), siis teine ​​jalg võib olla võrdne ainult 60-ga (3,20).

Samuti tuvastasime, et kolmnurgad ABC ja MBP on sarnased (juhtum AA), kuna neil on ühine nurk ja teine ​​võrdub 90º.

Seega võime x väärtuse leidmiseks kirjutada järgmise proportsiooni:

100 üle 80 võrdne x üle 50 x võrdne 5000 üle 80 x võrdne 250 üle 4 võrdne 125 üle 2

Z väärtuse leiate proportsiooni arvestades:

60 üle z võrdub 100 üle x 60 üle z on võrdne lugeja 100 üle nimetaja algusstiil näitab 125 üle 2 lõppstiili lõppmurd 60 üle z võrdub 100,2 üle 125 z võrdub lugejaga 60,125 üle nimetaja 100,2 fraktsiooni z lõpp on võrdne 7500 üle 200 z võrdub 75 üle 2

Y väärtuse leiame ka järgmiselt:

y võrdub 80 miinus x y võrdub 80 miinus 125 üle y võrdub lugeja 160 miinus 125 üle nimetaja 2 murdosa y ots võrdub 35 üle 2

Nüüd, kui tunneme kõiki külgi, saame arvutada perimeetrid.

Joonise I ümbermõõt:

60 pluss 50 pluss 75 üle 2 pluss 35 üle 2 võrdne lugejaga 120 pluss 100 pluss 75 pluss 35 üle nimetaja 2 murdosa lõpp võrdne 330 üle 2 võrdne 165

Joonise II ümbermõõt:

50 pluss 75 üle 2 pluss 125 üle 2 võrdne lugeja 100 pluss 75 pluss 125 üle nimetaja 2 murdosa võrdne 300 üle 2 võrdne 150

Seetõttu on perimeetrite suhe võrdne järgmisega:

P koos I alaindeksiga üle P ja I I alaindeksi alaindeksi lõpp võrdub 165 üle 150 võrdub 11 üle 10

Alternatiiv: d)11 üle 10

6) Vaenlane - 2013

Talu omanik soovib panna tugivarda, et paremini kinnitada kaks posti pikkusega 6 m ja 4 m. Joonis kujutab tegelikku olukorda, kus postitusi kirjeldavad segmendid AC ja BD ning varras tähistab EF-segment, mis on risti maapinnaga, millele viitab sirgjooneline lõik AB. Segmendid AD ja BC tähistavad paigaldatavaid terastrosse.

Küsimus Enem 2013 kolmnurkade sarnasus

Mis peaks olema varda pikkuse EF väärtus?

a) 1 m
b) 2 m
c) 2,4 m
d) 3 m
e) 2 ruutjuur 6-st m

Probleemi lahendamiseks nimetame varre kõrgust kui z ning AF ja FB segmentide mõõtmised x ja yvastavalt allpool näidatule:

Küsimus Enem 2013 kolmnurkade sarnasus

Kolmnurk ADB sarnaneb kolmnurgaga AEF selle poolest, et mõlema nurk on võrdne 90 ° ja ühine nurk, seega on nad AA puhul sarnased.

Seetõttu võime kirjutada järgmise proportsiooni:

lugeja 6 üle nimetaja x pluss y murdarvu lõpp võrdub h üle x

Korrutades "ristis", saame võrdsuse:

6x = h (x + y) (I)

Teiselt poolt on ka kolmnurgad ACB ja FEB sarnased ülaltoodud põhjustel. Nii et meil on osakaal:

lugeja 4 üle nimetaja x pluss y murdosa lõpp, mis võrdub h-ga y-ga

Samamoodi lahendamine:

4y = h (x + y) (II)

Pange tähele, et võrranditel (I) ja (II) on võrdusmärgi järel sama avaldis, nii et võime öelda, et:

6x = 4a
x võrdub 4 üle 6 y S i m p l i fi c ja teise komakoha tühimikud x on 2 üle 3 a

X väärtuse asendamine teises võrrandis:

4 y võrdub h vasakpoolne sulg 2 üle 3 y pluss y parem sulg 4 y võrdub h vasak sulg 5 üle 3 h parempoolne sulg h võrdub lugeja 4.3 diagonaaliga läbikriipsutamine y üle tühiku kriipsutamise lõpp nimetaja kohal 5 diagonaalne kriips ülespoole ruumi y tühistamise lõpp murdosa h lõpp on 12 üle 5 võrdub 2 koma 4 m ruumi

Alternatiiv: c) 2,4 m

7) Fuvest - 2010

Joonisel on kolmnurk ABC ristkülikukujuline, külgedega BC = 3 ja AB = 4. Lisaks kuulub punkt D rangluu juurde. A B ülemises raamis sulgeb raami, rangluu juurde kuuluv punkt E B C ülemises raamis sulgeb raami ja punkt F kuulub hüpotenuusi Ülemises raamis olev C sulgeb raami, nii et DECF on rööpkülik. kui D E võrdub 3-ga üle 2, seega on väärt DECF-i rööpküliku pindala

Fuvest 2010 kolmnurkade küsimuse sarnasus
paremad sulgud 63 üle 25 b parempoolsed sulgud 12 üle 5 c parempoolsed sulgud 58 üle 25 d paremad sulgud 56 üle 25 ja paremad sulgud 11 üle 5

Rööpküliku pindala leitakse baasväärtuse korrutamisel kõrgusega. Nimetagem h kõrguseks ja x baasmõõduks, nagu allpool näidatud:

Fuvest 2010 kolmnurkade küsimuse sarnasus

Kuna DECF on rööpkülik, on selle küljed kaks-kaks paralleelsed. Sel viisil on küljed AC ja DE paralleelsed. Nii et nurgad A C ülaindeksiga loogiline ühendus B ruum ja tühik D E ülaindeks loogiline ühendus B nad on samad.

Seejärel saame tuvastada, et kolmnurgad ABC ja DBE on sarnased (juhtum AA). Samuti on kolmnurga ABC hüpotenuus võrdne 5-ga (kolmnurk 3,4 ja 5).

Sel viisil kirjutame järgmise proportsiooni:

4 üle h võrdub lugeja 5 üle nimetaja algustiili näita 3 üle 2 lõpustiili lõppmurd 5 h võrdub 4,3 üle 2 tunni võrdub 6 üle 5

Baasi mõõtme x leidmiseks arvestame järgmist osakaalu:

lugeja 3 üle nimetaja 3, millest lahutatakse murdosa x lõpp, võrdub lugeja 4 üle nimetaja algustiili näita 6 üle viie lõpu stiili osa 4 lõpp vasak sulg 3 miinus x parem sulg võrdub 3,6 üle 5 3 miinus x võrdne lugeja 3,6 üle nimetaja 4,5 murdosa 3 lõpp miinus x võrdne 18 üle 20 x võrdne tühikuga 3 miinus 18 üle 20 x võrdne lugejaga 60 miinus 18 nimetaja üle 20 murdosa lõpp x x võrdne 42 üle 20 võrdne 21 üle 10

Rööpküliku pindala arvutamisel on meil:

A võrdub 21 üle 10,6 üle 5 võrdub 63 üle 25

Alternatiiv: a)63 üle 25

4. aasta matemaatikategevused

4. aasta matemaatikategevused

Vaadake rea matemaatikaülesandeid, korrutamistoiminguid, kontode jagamist, sama nimetaja murdudeg...

read more
Tõenäosusharjutused lahendatud (lihtne)

Tõenäosusharjutused lahendatud (lihtne)

Antud tulemuse tõenäosus juhuslikus katses väljendub suhtarvu kaudu:Järgmine oleme 10 küsimustlih...

read more
15 keelefunktsioonide harjutused (koos malliga)

15 keelefunktsioonide harjutused (koos malliga)

Kell keele funktsioonid need on seotud keelekasutusega, kus igaühel on funktsioon vastavalt suhtl...

read more