THE kolmnurga sarnasus kasutatakse ühe kolmnurga tundmatu mõõtme leidmiseks, teades teise kolmnurga mõõtmeid.
Kui kaks kolmnurka on sarnased, on nende vastavate külgede mõõtmed proportsionaalsed. Seda suhet kasutatakse paljude geomeetriliste probleemide lahendamiseks.
Niisiis, kasutage ära kommenteeritud ja lahendatud harjutused, et kõik oma kahtlused lahendada.
Küsimused on lahendatud
1) Meremehe praktikant - 2017
Vaadake allolevat joonist
Hoone heidab 30 m pikkuse varju maapinnale samal hetkel, kui kuue jalaga inimene heidab 2,0 m varju. Võib öelda, et hoone kõrgus on seda väärt
a) 27 m
b) 30 m
c) 33 m
d) 36 m
e) 40 m
Võime arvestada, et hoone, selle kavandatud vari ja päikesekiir moodustavad kolmnurga. Samamoodi on meil ka kolmnurk, mille moodustavad inimene, tema vari ja päikesekiir.
Arvestades, et päikesekiired on paralleelsed ning hoone, maapinna ja inimese vaheline nurk on maapind on võrdne 90º, alloleval joonisel näidatud kolmnurgad on sarnased (kaks nurka) võrdsed).
Kuna kolmnurgad on sarnased, võime kirjutada järgmise proportsiooni:
Alternatiiv: a) 27 m
2) Fuvest - 2017
Joonisel on ristküliku ABCD küljed pikkusega AB = 4 ja BC = 2. Olgu M külje keskpunkt ja N külje keskpunkt . Segmendid lõik kinni punktides E ja F vastavalt.
Kolmnurga AEF pindala on võrdne
Kolmnurga AEF pindala leitakse, vähendades kolmnurga ABE pindala kolmnurga AFB pindalast, nagu allpool näidatud:
Alustame AFB kolmnurga ala leidmisega. Selleks peame välja selgitama selle kolmnurga kõrguse väärtuse, kuna baasväärtus on teada (AB = 4).
Pange tähele, et kolmnurgad AFB ja CFN on sarnased, kuna neil on kaks võrdset nurka (juhtum AA), nagu on näidatud alloleval joonisel:
Joonistame kõrguse H1kolmnurgas AFB külje AB suhtes. Kuna külje CB mõõt on võrdne 2, võime arvestada, et külje NC suhteline kõrgus kolmnurgas FNC on võrdne 2 - H1.
Seejärel saame kirjutada järgmise proportsiooni:
Teades kolmnurga kõrgust, saame arvutada selle pindala:
Kolmnurga ABE ala leidmiseks peate arvutama ka selle kõrguse väärtuse. Selleks kasutame fakti, et allpool toodud joonisel näidatud kolmnurgad ABM ja AOE on sarnased.
Lisaks on kolmnurk OEB täisnurkne kolmnurk ja ülejäänud kaks nurka on võrdsed (45º), seega on see võrdhaarne kolmnurk. Seega on selle kolmnurga kaks jalga väärt H-d2, nagu alloleval pildil:
Seega on kolmnurga AOE külg AO võrdne 4 - H-ga2. Selle teabe põhjal võime näidata järgmise proportsiooni:
Teades kõrguse väärtust, saame nüüd arvutada kolmnurga ABE pindala:
Seega võrdub kolmnurga AFE pindala järgmisega:
Alternatiiv: d)
3) Cefet / MG - 2015
Järgmine joonis kujutab ristkülikukujulist piljardilauda, mille laius ja pikkus on vastavalt 1,5 ja 2,0 m. Mängija peab viskama valge pall punktist B ja lööma musta palli punktis P, ilma et ta lööks ühtegi teist. Kuna kollane on punktis A, viskab see mängija valge palli punkti L, et see saaks põrgatada ja musta vastu põrkuda.
Kui palli langemisraja nurk laua küljel ja põrkenurk on võrdsed, nagu joonisel näidatud, on kaugus P-st Q-ni cm
a) 67
b) 70
c) 74
d) 81
Alloleval pildil punasega tähistatud kolmnurgad on sarnased, kuna neil on kaks võrdset nurka (nurk on võrdne α ja nurk on võrdne 90 °).
Seetõttu võime kirjutada järgmise proportsiooni:
Alternatiiv: a) 67
4) Sõjakolledž / RJ - 2015
Kolmnurgas ABC kuuluvad punktid D ja E vastavalt külgedele AB ja AC ning on sellised, et DE / / BC. Kui F on AB punkt, mille EF / / CD ning AF ja FD e mõõtmised on vastavalt 4 ja 6, on segmendi DB mõõt:
a) 15.
b) 10.
c) 20.
d) 16.
e) 36.
Võime kujutada kolmnurka ABC, nagu allpool näidatud:
Kuna segment DE on paralleelne BC-ga, on kolmnurgad ADE ja ABC sarnased selle poolest, et nende nurgad on omavahel kooskõlas.
Seejärel saame kirjutada järgmise proportsiooni:
Kolmnurgad FED ja DBC on samuti sarnased, kuna segmendid FE ja DC on paralleelsed. Seega kehtib ka järgmine osakaal:
Eraldades y selles proportsioonis, on meil:
Y-väärtuse asendamine esimese võrduse korral:
Alternatiiv: a) 15
5) Epcar - 2016
Täisnurkse kolmnurga kujuline maa jagatakse hüpotenuusi poolitusele tehtud aia abil kaheks osaks, nagu joonisel näidatud.
On teada, et selle maastiku küljed AB ja BC mõõdavad vastavalt 80 m ja 100 m. Seega on I osa ümbermõõdu ja II osa ümbermõõdu suhe selles järjekorras
Perimeetrite vahelise suhte väljaselgitamiseks peame teadma joonise I ja II kõigi külgede väärtust.
Pange tähele, et hüpotenuusi poolitaja jagab BC külje kaheks ühtseks segmendiks, nii et CM ja MB segmendid on 50 m.
Kuna kolmnurk ABC on ristkülik, saame Pythagorase teoreemi abil arvutada külje AC. Pange tähele, et see kolmnurk on Pythagorase kolmnurk.
Seega, kui hüpotenuus on võrdne 100-ga (5. 20) ja üks kaks jalga on võrdne 80-ga (4,20), siis teine jalg võib olla võrdne ainult 60-ga (3,20).
Samuti tuvastasime, et kolmnurgad ABC ja MBP on sarnased (juhtum AA), kuna neil on ühine nurk ja teine võrdub 90º.
Seega võime x väärtuse leidmiseks kirjutada järgmise proportsiooni:
Z väärtuse leiate proportsiooni arvestades:
Y väärtuse leiame ka järgmiselt:
Nüüd, kui tunneme kõiki külgi, saame arvutada perimeetrid.
Joonise I ümbermõõt:
Joonise II ümbermõõt:
Seetõttu on perimeetrite suhe võrdne järgmisega:
Alternatiiv: d)
6) Vaenlane - 2013
Talu omanik soovib panna tugivarda, et paremini kinnitada kaks posti pikkusega 6 m ja 4 m. Joonis kujutab tegelikku olukorda, kus postitusi kirjeldavad segmendid AC ja BD ning varras tähistab EF-segment, mis on risti maapinnaga, millele viitab sirgjooneline lõik AB. Segmendid AD ja BC tähistavad paigaldatavaid terastrosse.
Mis peaks olema varda pikkuse EF väärtus?
a) 1 m
b) 2 m
c) 2,4 m
d) 3 m
e) 2 m
Probleemi lahendamiseks nimetame varre kõrgust kui z ning AF ja FB segmentide mõõtmised x ja yvastavalt allpool näidatule:
Kolmnurk ADB sarnaneb kolmnurgaga AEF selle poolest, et mõlema nurk on võrdne 90 ° ja ühine nurk, seega on nad AA puhul sarnased.
Seetõttu võime kirjutada järgmise proportsiooni:
Korrutades "ristis", saame võrdsuse:
6x = h (x + y) (I)
Teiselt poolt on ka kolmnurgad ACB ja FEB sarnased ülaltoodud põhjustel. Nii et meil on osakaal:
Samamoodi lahendamine:
4y = h (x + y) (II)
Pange tähele, et võrranditel (I) ja (II) on võrdusmärgi järel sama avaldis, nii et võime öelda, et:
6x = 4a
X väärtuse asendamine teises võrrandis:
Alternatiiv: c) 2,4 m
7) Fuvest - 2010
Joonisel on kolmnurk ABC ristkülikukujuline, külgedega BC = 3 ja AB = 4. Lisaks kuulub punkt D rangluu juurde. , rangluu juurde kuuluv punkt E ja punkt F kuulub hüpotenuusi , nii et DECF on rööpkülik. kui , seega on väärt DECF-i rööpküliku pindala
Rööpküliku pindala leitakse baasväärtuse korrutamisel kõrgusega. Nimetagem h kõrguseks ja x baasmõõduks, nagu allpool näidatud:
Kuna DECF on rööpkülik, on selle küljed kaks-kaks paralleelsed. Sel viisil on küljed AC ja DE paralleelsed. Nii et nurgad nad on samad.
Seejärel saame tuvastada, et kolmnurgad ABC ja DBE on sarnased (juhtum AA). Samuti on kolmnurga ABC hüpotenuus võrdne 5-ga (kolmnurk 3,4 ja 5).
Sel viisil kirjutame järgmise proportsiooni:
Baasi mõõtme x leidmiseks arvestame järgmist osakaalu:
Rööpküliku pindala arvutamisel on meil:
Alternatiiv: a)