Asutasime a okupatsioon kui seostame ühte või mitut suurust. Osa loodusnähtustest saab uurida tänu arengule selles matemaatikas. Funktsioonide uurimine on jagatud kaheks osaks, meil on üldosa, milles uurime mõistedüldine, ja konkreetne osa, kus uurime konkreetsetel juhtudel, näiteks polünoomfunktsioonid ja eksponentsiaalsed funktsioonid.
Vaadake ka: Kuidas funktsiooni joonistada?
Mis on funktsioonid?
Funktsioon on rakendus, mis seob kahe elemendid komplektid pole tühi. Vaatleme kahte mittetühja komplekti A ja B, kus funktsioon f seostada iga element A-st ainult üks B osa
Selle definitsiooni paremaks mõistmiseks kujutage ette taksosõitu. Iga reisi jaoks, see tähendab iga läbitud vahemaa jaoks, on erinev ja ainulaadne hind, st pole mõtet, et reisil oleks kaks erinevat hinda.
Seda funktsiooni, mis viib elemendid komplektist A komplekti B, saame kujutada järgmistel viisidel.
Pange tähele, et hulga A iga elemendi jaoks on olemas a üks seotud element temaga komplektis B. Nüüd võime ju mõelda, millal kahe komplekti suhe ei ole funktsioon? Noh, kui hulga A element on seotud B kahe erineva elemendiga või kui hulgal A on elemente, mis pole seotud B elementidega. Vaata:
Üldiselt võime funktsiooni kirjutada algebraliselt järgmiselt:
f: A → B
x → y
Pange tähele, et funktsioon võtab elemendid komplektist A (tähistatud x-ga) ja viib elemendid B-st (tähistatud y-ga). Võime öelda ka seda, et hulga B elemendid on antud hulga A elementidena, seega võime y-d tähistada järgmiselt:
y = f(x)
See kõlab: (y võrdub f-ga x)
Rolli domeen, kaasdomeen ja pilt
Kui meil on oma roll f, seonduvatele komplektidele antakse erinimed. Nii et kaaluge funktsiooni f mis viib elemendid komplektist A elementideks komplektist B:
f: A → B
Hulka A, millest suhted lahknevad, nimetatakse domeen funktsiooni ja nimetatakse komplekti, mis võtab vastu selle suhte "nooled" vastudomeen. Tähistame neid komplekte järgmiselt:
Df = A → domeen f
CDf = B → domeeni vastasdomeen f
Hulga elementidega seotud elementide poolt moodustatud funktsiooni alamhulka kutsutakse Pilt funktsiooni ja tähistatakse järgmisega:
imf → Pilt f
- Näide
Mõelge alloleval diagrammil kujutatud funktsioonile f: A → B ja määrake domeen, kontradomeen ja pilt.
Nagu öeldud, on funktsiooni domeen A = {1, 2, 3, 4} f, samal ajal kui hulk B = {0, 2, 3, –1} on sama funktsiooni kontradomeen. Pange tähele, et elementide {0, 2, –1} poolt moodustatud noolt (oranži värvi) vastu võtnud elementide moodustatud hulk on alamhulk Domeen B, see komplekt on funktsiooni pilt f, seega:
Df = A = {1, 2, 3, 4}
CDf = B = {0, 2, 3, -1}
imf = {0, 2, –1}
Me ütleme, et 0 on elemendi pilt 1 domeeni ja ka 2 see on elementide pilt 2 ja 3 domeeni ja –1 on elemendi pilt 4 domeeni. Nende kolme mõiste kohta lisateabe saamiseks lugege järgmist: Ddomeen, kaasdomeen ja pilt.
Surjektiivne funktsioon
Funktsioon f: A → B on surjektiivne või surjektiivne ja ainult siis, kui pildikomplekt langeb kokku kontradomeeniga, st kui kõik kontradomeeni elemendid on kujutised.
Siis ütleme, et funktsioon on surjektiivne, kui kõik vastasdomeeni elemendid saavad nooli. Kui soovite seda tüüpi funktsioonidesse süveneda, külastage meie teksti: Ülejooksu funktsioon.
Süstefunktsioon
Funktsioon f: A → B on injektiivne või süstiv ainult siis, kui domeeni erinevatel elementidel on vastasdomeenis erinevad pildid, st sarnaseid pilte genereerivad domeeni sarnased elemendid.
Pange tähele, et tingimus on see, et domeeni erinevad elemendid on seotud vastasdomeeni erinevate elementidega, vastasdomeeni ülejäänud elementidega pole probleemi. Selle kontseptsiooni paremaks mõistmiseks võite lugeda teksti: Pihusti funktsioon.
Bijektori funktsioon
Funktsioon f: A → B on bijektiivne siis ja ainult siis, kui see on injektor ja surjektor üheaegselt, see tähendab, et domeeni erinevatel elementidel on erinevad pildid ja pilt langeb kokku vastudomeeniga.
- Näide
Mõlemal juhul põhjendage, kas funktsioon f (x) = x2 see on injektor, surjektor või bijector.
) f: ℝ+ → ℝ
Pange tähele, et funktsiooni domeen on kõik positiivsed reaalarvud ja vastasdomeen on kõik reaalarvud. Me teame, et funktsiooni f annab f (x) = x2, kujutlege nüüd kõiki positiivseid tegelikke arve kõrge ruudus, on ka kõik pildid positiivsed. Seega võime järeldada, et funktsioon on süstiv ja mitte surjektiivne, kuna negatiivsed reaalarvud nooli ei saa.
See on domeeni iga elemendi (ℝ+) on seotud ainult ühe vastasdomeeni elemendiga (ℝ).
B) f: ℝ → ℝ+
Funktsioonil on sel juhul kõigi reaalidena domeen ja positiivsete reaalidena kontradomeen. Me teame, et mis tahes reaalarvu ruudus on positiivne, nii et kõik vastasdomeeni elemendid on saanud nooli, seega on funktsioon surjektiivne. See ei ole süstimine, kuna domeenielemendid on seotud kahe vastasdomeenielemendiga, näiteks:
f(–2) = (–2)2 = 4
f(2) = (2)2 = 4
ç) f:ℝ+ → ℝ+
Selles näites on funktsiooni domeen ja vastasdomeen positiivsete reaalarvudena, nii et funktsioon on bijector, sest iga positiivne reaalarv on seotud ühega reaalarv positiivne vastasdomeenist, antud juhul arvu ruudust. Lisaks said nooled kõik vastasdomeeninumbrid.
liitfunktsioon
THE liitfunktsioon on seotud otsetee idee. Vaatleme kolme mittetühja komplekti A, B ja C. Mõelge ka kahele funktsioonile f ja g, kus funktsioon f viib elemendid x komplektist A elementideks y = f (x) komplektist B ja funktsioon g viib elemendid y = f (x) elementideks z komplektist C.
Komposiitfunktsioon saab selle nime, kuna see on rakendus, mis võtab funktsioonide f ja g kompositsiooni kaudu elemendid komplektist A otse komplekti C, ilma komplekti B läbimata. Vaata:
Funktsioon, mida tähistatakse (f o g), viib elemendid komplektist A otse komplekti C. Seda nimetatakse liitfunktsiooniks.
- Näide
Vaatleme funktsiooni f (x) = x2 ja funktsioon g (x) = x + 1. Leidke liitfunktsioonid (f o g) (x) ja (g o f) (x).
Funktsiooni f o g annab funktsioonile f rakendatud funktsioon g, see tähendab:
(f o g) (x) = f (g (x))
Selle liitfunktsiooni määramiseks peame seda funktsiooni arvestama fja muutuja x asemel peame kirjutama funktsiooni g. Vaata:
x2
(x + 1)2
(f o g) (x) = f (g (x)) = x2 + 2x + 1
Samamoodi peame liitfunktsiooni (g o f) (x) määramiseks rakendama funktsiooni f rollis gehk arvestage funktsiooni g ja kirjutage muutuja asemele funktsioon f. Vaata:
(x + 1)
x2 + 1
Seetõttu on liitfunktsioon (g o f) (x) = g (f (x)) = x2 + 1.
Ühtlane funktsioon
Mõelge funktsioonile f: A → ℝ, kus A on mittetühja reaali alamhulk. Funktsioon f on ühtlane ainult kõigi tegelike x korral.
Näide
Mõelge funktsioonile f: ℝ → ℝ, mille annab f (x) = x2.
Pange tähele, et reaalse x väärtuse korral, kui ruut on ruut, on tulemus alati positiivne, see tähendab:
f (x) = x2
ja
f (–x) = (–x)2 = x2
Seega f (x) = f (–x) reaalse x väärtuse korral, seega funktsioon f see on paar.
Loe ka:Võimsuse omaduseds - mis need on ja kuidas kell kasutamineõhku?
ainulaadne funktsioon
Mõelge funktsioonile f: A → ℝ, kus A on mittetühja reaali alamhulk. Funktsioon f on paaritu ainult kõigi tegelike x korral.
- Näide
Mõelge funktsioonile f: ℝ → ℝ, mille annab f (x) = x3.
Vaadake, et x väärtuse korral võime kirjutada, et (–x)3 = -x3. Vaadake mõnda näidet:
(–2)3 = –23 = –8
(–3)3 = –33 = –27
Nii võime öelda, et:
f (–x) = (–x)3 = –x3
f (–x) = (–x)3 = –f (x)
Nii et mis tahes reaalse x f (–x) = –f (x) korral ja nii funktsioon f (x) = x3 on ainulaadne.
funktsiooni suurendamine
Funktsioon f é kasvab intervalliga siis ja ainult siis, kui domeeni elementide kasvades kasvavad ka nende pildid. Vaata:
Pange tähele, et x1 > x2 ja sama juhtub ka pildiga, nii et saame funktsiooni jaoks luua algebralise tingimuse f olema kasvab.
Kahanev funktsioon
Funktsioon f é väheneb intervalliga siis ja ainult siis, kui domeeni elementide kasvades nende pildid vähenevad. Vaata:
Vaadake, et funktsiooni domeenis on see x1 > x2, aga seda ei esine funktsioonipildil, kus f (x1)
pidev funktsioon
Nagu nimigi ütleb, a funktsioon on pidev millal mis tahes väärtuse jaoks domeenis on pildi väärtus alati sama.
seotud funktsioon
THE afiinfunktsioon või esimese astme polünoom on kirjutatud kujul:
f (x) = kirves + b
Kus a ja b on tegelikud arvud, pole a null ja teie graafik on sirge. Funktsioonil on tõeline domeen ja ka tõeline vastasdomeen.
ruutfunktsioon
THE ruutfunktsioon ehk teise astme polünoomfunktsiooni annab a polünoom teise klassi seega:
f (x) = kirves2 + bx + c
Kus a, b ja c on nullarvuga reaalarvud ja teie graafik on a tähendamissõna. Rollil on ka tõeline domeen ja vastudomeen.
modulaarne funktsioon
THE modulaarne funktsioon koos muutuja x leiab-kui mooduli sees ja algebraliselt väljendab see:
f (x) = | x |
Funktsioonil on ka reaalne domeen ja loenddomeen ehk saame arvutada mis tahes reaalarvu absoluutväärtuse.
eksponentsiaalfunktsioon
THE eksponentsiaalfunktsioonkuvab muutuja x eksponendis. Sellel on ka tõeline domeen ja tõeline vastasdomeen ning seda kirjeldab algebraliselt:
f (x) = ax
Kui a on tegelik arv, mis on suurem kui null.
logaritmiline funktsioon
THE logaritmiline funktsioon on muutuv logaritmis ja domeen, mille moodustavad nullist suuremad reaalarvud.
Trigonomeetrilised funktsioonid
Kell trigonomeetrilised funktsioonid on muutuja x, mis hõlmab trigonomeetrilisi suhteid, peamised neist on:
f (x) = patt (x)
f (x) = cos (x)
f (x) = tg (x)
juurfunktsioon
Juurefunktsiooni iseloomustab see, et tal on muutuja juure sees, siis kui juure indeks on paaris, muutuvad funktsiooni domeeniks ainult positiivsed reaalarvud.
autor Robson Luiz
Matemaatikaõpetaja