Kompleksarvuharjutused: lahendatud küsimuste loetelu ja tagasiside

Sina kompleksarvud võimaldavad lahendada matemaatilisi ülesandeid, millel pole lahendit reaalarvud.

Kompleksarvus, mis on kirjutatud järgmiselt $\ dpi {120} z = a + bi$ , me ütleme seda $\ dpi {120} kuni$ on tegelik osa, $\ dpi {120} b$ on kujuteldav osa ja $\ dpi {120} i = \ sqrt {-1}$ see on kujuteldav üksus.

Esinema kompleksarvudega toimingud, on mõned väljendid, mis muudavad arvutused lihtsamaks. Mõelge $\ dpi {120} z_1 = a + bi$ ja $\ dpi {120} z_2 = c + di$ .

Liitarvu kompleksarvude vahel:

$\ dpi {120} z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d) i$

Lahutise väljendamine kompleksarvude vahel:

$\ dpi {120} z_1 - z_2 = (a-c) + (b - d) i$

Korrutise avaldamine kompleksarvude vahel:

$\ dpi {120} z_1 \ cdot z_2 = (ac - db) + (ad + cb) i$

Kompleksarvude jagunemise väljendus:

$\ dpi {120} \ frac {z_1} {z_2} = \ frac {(ac + bd)} {c ^ 2 + d ^ 2} + \ frac {(bc - ad)} {c ^ 2 + d ^ 2 } i$

Allpool on loetelu kompleksarvude harjutustega lahendatud küsimused. Õppige kasutama kõiki neid numbreid sisaldavaid mõisteid!

Indeks

Kompleksarvude harjutuste loetelu
1. küsimuse lahendamine
2. küsimuse lahendamine
3. küsimuse lahendamine
4. küsimuse lahendamine
5. küsimuse lahendamine
6. küsimuse lahendamine
7. küsimuse lahendamine
8. küsimuse lahendamine

Kompleksarvude harjutuste loetelu

Küsimus 1. Arvestades kompleksarvusid $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ , $\ dpi {120} z_2 = 2 - 5i$ ja $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ määrata väärtus $\ dpi {120} A$ , Millal $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

2. küsimus. Leidke väärtused $\ dpi {120} x$ ja $\ dpi {120} a$ selline, et $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

3. küsimus. Arvestades kompleksarvusid $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ ja $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ , määrake väärtus $\ dpi {120} A \ cdot B$ , Millal $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ riba {z_1}$ ja $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ riba {z_2}$ .

instagram story viewer

4. küsimus. Arvutage väärtus $\ dpi {120} lk$ ja $\ dpi {120} q$ milleks $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Millal $\ dpi {120} z_1 = 3 - pi$ ja $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

5. küsimus. Määrake väärtus $\ dpi {120} kuni$ milleks $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ olla puhas kujuteldav arv.

6. küsimus. Arvutage järgmised kujuteldavad ühikute võimsused $\ dpi {120} i$ :

) $\ dpi {120} i ^ {16}$
B) $\ dpi {120} i ^ {200}$
ç) $\ dpi {120} i ^ {829}$
d) $\ dpi {120} i ^ {11475}$

7. küsimus. Leidke võrrandi lahendus $\ dpi {120} x ^ 2 + 9 = 0$ kompleksarvude komplektis.

8. küsimus. Määrake võrrandi lahendus $\ dpi {120} x ^ 2 + x + 1 = 0$ kompleksarvude komplektis.

1. küsimuse lahendamine

Meil on $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ ja $\ dpi {120} z_2 = 2 - 5i$ ja $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ ja tahame määrata väärtuse $\ dpi {120} A$ , Millal $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

Kõigepealt arvutame välja $\ dpi {120} 4z_3$ ja $\ dpi {120} 3z_1$ , eraldi:

$\ dpi {120} 4z_3 = 4. (- 1 + 4i) = -4 + 16i$

$\ dpi {120} 3z_1 = 3. (2 + 3i) = 6 + 9i$

Nüüd arvutame $\ dpi {120} A$ :

$\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$

$\ dpi {120} \ parempoolne A = (2 - 5i) + (- 4 + 16i) - (6 + 9i)$

$\ dpi {120} \ parempoolne A = (2-4-6) + (-5 + 16-9) i$

$\ dpi {120} \ parempoolne A = -8 + 2i$

2. küsimuse lahendamine

Me tahame leida x ja y nii, et $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Kahe kompleksarvu summa väljendamise kaudu peame:

$\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$

$\ dpi {120} \ parempoolne (2 + y) + (x-5) i = 3-i$

Nii et meil peab olema $\ dpi {120} (2 + y) = 3$ ja $\ dpi {120} (x-5) i = -i$ . Lahendame need kaks võrrandit, et leida x ja y.

$\ dpi {120} (2 + y) = 3 \ parempoolne y = 3-2 \ parempoolne y = 1$

$\ dpi {120} (x-5) i = -i \ parempoolne x- 5 = -1 \ parem nupp x = -1 + 5 \ parempoolne x = 4$

3. küsimuse lahendamine

Meil on $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ ja $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ ja tahame määrata väärtuse $\ dpi {120} A \ cdot B$ , Millal $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ riba {z_1}$ ja $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ riba {z_2}$ .

Esiteks arvutame $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ riba {z_1}$ .

$\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ riba {z_1}$

$\ dpi {120} \ parempoolne A = (-2 - 5i) \ cdot (-2 + 5i)$

Kahe kompleksarvu korrutise avaldamise abil peame:

$\ dpi {120} A = [(- 2) \ cdot (-2) - (- 5) \ cdot 5] + [(- 2) \ cdot 5 + (-5) \ cdot (-2)]$

$\ dpi {120} \ parempoolne A = [4 +25] + [- 10 +10]$

$\ dpi {120} \ parempoolne A = 29$

Nüüd arvutame $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ riba {z_2}$ .

$\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ riba {z_2}$

$\ dpi {120} \ parempoolne B = (1 + 3i) \ cdot (1-3i)$

$\ dpi {120} \ parempoolne B = [1 \ cdot 1 - 3 \ cdot (-3)] + [1 \ cdot (-3) +1 \ cdot 3] i$

$\ dpi {120} \ parempoolne B = [1 + 9] + [- 3 + 3] i$

$\ dpi {120} \ parempoolne B = 10$

Seetõttu $\ dpi {120} A \ cdot B = 29 \ cdot 10 = 290$ .

4. küsimuse lahendamine

Tahame arvutada väärtuse $\ dpi {120} lk$ ja $\ dpi {120} q$ milleks $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Millal $\ dpi {120} z_1 = 3 - pi$ ja $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

See tähendab leidmist $\ dpi {120} lk$ ja $\ dpi {120} q$ nii, et:

Vaadake mõnda tasuta kursust

Tasuta online kaasava hariduse kursus
Tasuta online mänguasjaraamatukogu ja õppekursus
Alushariduse tasuta matemaatikamängude kursus
Tasuta veebipõhine pedagoogiliste kultuuritöökodade kursus

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = q + 2i$

Kahe kompleksarvu jagunemise väljenduse abil peame:

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = \ frac {[3 \ cdot 1 + (- p) \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} + \ frac {[ (-p) \ cdot 1-3 \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} i = \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i$

Nende kahe tingimuse ühendamisel peab meil olema:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i = q + 2i$

St:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q \: \: \ mathrm {e} \: \: \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

Lahendame kõik need võrrandid, alustades teisest, mis sõltub ainult p-st.

$\ dpi {120} \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {(- p-6)} {5} = 2$

$\ dpi {120} \ Rightarrow -p - 6 = 10$

$\ dpi {120} \ parempoolne p = -16$

Nüüd leiame q teise võrrandi järgi:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightrrow \ frac {3 - 2 \ cdot (-16)} {5} = q$

$\ dpi {120} \ parempoolne q = 7$

5. küsimuse lahendamine

Me tahame leida väärtuse $\ dpi {120} kuni$ milleks $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ olla puhas kujuteldav arv.

Puht kujuteldav arv on see, mille tegelik osa on võrdne nulliga.

Arvestades kahe kompleksarvu jagunemise väljendust, on meil järgmine:

$\ dpi {120} \ frac {a + 3i} {3 + 2i} = \ frac {a \ cdot 3 + 3 \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} + \ frac {3 \ cdot 3 - a \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} i = \ frac {3a + 6} {13} + \ frac {9-2a} {13} i$

Et see arv oleks puhas kujuteldav, peab meil olema:

$\ dpi {120} \ frac {3a + 6} {13} = 0$

$\ dpi {120} \ parempoolne nool 3a + 6 = 0$

$\ dpi {120} \ parempoolne a = -2$

6. küsimuse lahendamine

Võimude ja kompleksarvude määratlemisega peame:

$\ dpi {120} i ^ 0 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 1 = i$
$\ dpi {120} i ^ 2 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 3 = -i$
$\ dpi {120} i ^ 4 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 5 = i$
$\ dpi {120} i ^ 6 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 7 = -i$

Jälgige mustrit, mis kordub iga nelja järjestuse järel: 1, i, -1 ja -i.

Seega, et leida tulemus i suvalisel astmel, jagage eksponent lihtsalt 4-ga. Jaotuse ülejäänud osa on 0, 1, 2 või 3 ja see väärtus on eksponent, mida peaksime kasutama.

) $\ dpi {120} i ^ {16}$

16: 4 = 4 ja ülejäänud on 0.

Siis, $\ dpi {120} i ^ {16} = i ^ 0 = 1$ .