Me ütleme, et loomulik arv on täiuslik, kui see on võrdne kõigi tema tegurite (jagajate) summaga, välistades iseenda. Näiteks 6 ja 28 on täiuslikud arvud, vt:
6 = 1 + 2 + 3 (tegurid 6: 1, 2, 3 ja 6), välistame arvu 6.
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 (tegurid 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28), välistame 28.
Mersenne'i numbrid on kujul Mn = 2n - 1. Ta arvas isegi, et see väljend suudab arvutada võimalikud algarvud, võttes arvesse n = algarvu, kuid hiljem selgus, et tal oli peaaegu õigus. Näiteks:
M1 = 21 – 1 = 1
M2 = 22 - 1 = 3 → n = 2 (nõbu), M2 = 3 (nõbu)
M3 = 23 - 1 = 7 → n = 3 (nõbu), M3 = 7 (nõbu)
M4 = 24 – 1 = 15
M5 = 25 - 1 = 31 → n = 5 (nõbu), M5 = 31 (nõbu)
M6 = 26 – 1 = 63
M7 = 27 - 1 = 127 → n = 7 (nõbu), M7 = 127 (nõbu)
M8 = 28 – 1 = 255
M9 = 29 – 1 = 511
M10 = 210 – 1 = 1023
M11 = 211 - 1 = 2047 → n = 11 (nõbu), M11 = 2047 (mitte peamine)
M13 = 213 - 1 = 8191 → n = 13 (nõbu), M13 = 8191 (nõbu)
Algarvude järjestuses on elemente, mida Mersenne'i valemis rakendatud ei genereeri põhielemendid, näiteks arv 11, kui valemile rakendada, andis tulemuseks 2047, arv mitte nõbu.
Teadmised täiuslikest arvudest omistatakse Kreeka kuulsale matemaatikule Euclidile, kes rajas geomeetria. Tema kasutatav meetod algab ühega, lisades algarvule astme 2. Seejärel saadakse täiuslik arv, korrutades summa 2 viimase astmega.
Pange tähele suhet täiusliku arvu ja Mersenne'i algarvude vahel.
autor Mark Noah
Lõpetanud matemaatika
Brasiilia koolimeeskond
Numbrilised komplektid - Matemaatika - Brasiilia kool
Allikas: Brasiilia kool - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/mersenne-numeros-primos-numeros-perfeitos.htm