THE Iseloomustatakse 2. astme võrrandit ühe jaoks polünoom 2. astme, see tähendab kirvega polünoom2+ bx + c, kus The, B ja ç nemad on reaalarvud. 2. astme võrrandi lahendamisel oleme huvitatud tundmatule väärtuste leidmisest. x see muudab avaldise väärtuse võrdseks 0-ga, mida nimetatakse juurteks, see tähendab kirveks2 + bx + c = 0.
Loe ka: Funktsiooni ja võrrandi erinevused
2. astme võrrandite tüübid
2. astme võrrand võib olla mida tähistab ax² + bx + c = 0, kus koefitsiendid The, B ja ç on reaalarvud koos The ≠ 0.
→ Näited
a) 2x2 + 4x - 6 = 0 → a = 2; b = 4 ja c = - 6
b) x2 - 5x + 2 = 0 → a = 1; b = - 5 ja c = 2
c) 0,5x2 + x –1 = 0 → a = 0,5; b = 1 ja c = -1
2. astme võrrand on klassifitseeritud kui täielik kui kõik koefitsiendid erinevad 0-st, see tähendab The ≠ 0, B ≠ 0 ja ç ≠ 0.
2. astme võrrand on klassifitseeritud kui puudulik kui koefitsientide väärtus B või ç on võrdsed 0-ga, see tähendab, et b = 0 või c = 0.
→ Näited
a) 2x2 - 4 = 0 → a = 2; b = 0 ja c = - 4
b) -x2 + 3x = 0 → a = - 1; b = 3 ja c = 0
c) x2 = 0 → a = 1; b = 0 ja c = 0
Pea üles: koefitsiendi väärtus The see pole kunagi võrdne 0-ga, kui see juhtub, pole võrrand enam 2. aste.
Kuidas lahendada 2. astme võrrandeid?
2. astme võrrandi lahendus tekib siis, kui juured leitakse, see tähendab neile määratud väärtused x. Need väärtused x peab võrdsuse tõeks tegema, see tähendab asendama väärtuse x avaldises peab tulemus olema võrdne 0.
→ Näide
Arvestades x-võrrandit2 - 1 = 0, et x ’= 1 ja x’ ’= - 1 on võrrandi lahendid, kuna nende väärtuste asendamine avaldises on tõeline võrdsus. Vaata:
x2 – 1 = 0
(1)2 - 1 = 0 ja (–1)2 – 1 = 0
Et leida lahendus võrrand, tuleb analüüsida, kas võrrand on täielik ja puudulik, ning valida, millist meetodit kasutatakse.
Lahendusmeetod tüübi võrrandite jaoks kirves²+ c = 0
Meetod mittetäielike võrrandite lahenduse määramiseks, millel on B=0koosneb tundmatu isoleerimisest x, seega:
→ Näide
Leidke võrrandi juured 3x2 – 27 = 0.
Kui soovite selle meetodi kohta rohkem teada saada, minge: 2. astme mittetäielik võrrand nullkoefitsiendiga b.
Lahendusmeetod tüübi võrrandite jaoks kirves2 + bx = 0
Meetodiga võrrandi võimalike lahendite määramise meetod ç = 0, koosneb tõendite faktooring. Vaata:
kirves2 + bx = 0
x · (kirves + b) = 0
Viimast võrdsust vaadates on märgatav korrutamine ja et tulemuseks oleks 0, on vajalik, et vähemalt üks teguritest oleks võrdne 0-ga.
x · (kirves + b) = 0
x = 0 või kirves + b = 0
Seega on võrrandi lahendus antud:
→ Näide
Määrake võrrandi lahendus 5x2 - 45x = 0
Kui soovite selle meetodi kohta rohkem teada saada, minge: mittetäielik 2. astme võrrand nullkoefitsiendiga c.
Lahendusmeetod tervikvõrrandite jaoks
Meetod, mida nimetatakse Bhaskara meetod või Bhaskara valem juhib tähelepanu sellele, et tüübi kirve 2. astme võrrandi juured2 + bx + c = 0 annab järgmine seos:
→ Näide
Määrake võrrandi lahendus x2 - x - 12 = 0.
Pange tähele, et võrrandi koefitsiendid on: a = 1; B= - 1 ja ç = – 12. Asendades need väärtused Bhaskara valemis, on meil:
Delta (Δ) on nime saanud diskrimineeriv ja pane tähele, et see asub a ruutjuur ja nagu teame, võttes arvesse tegelikke arve, ei ole negatiivse arvu ruutjuuri võimalik välja tõmmata.
Teades diskrimineerija väärtust, võime teha mõned väited 2. astme võrrandi lahendi kohta:
→ positiivne diskrimineerija (Δ> 0): kaks võrrandi lahendit;
→ nulliga võrdne diskrimineerija (Δ = 0): korratakse võrrandi lahendeid;
→ negatiivne diskrimineerija (Δ <0): ei tunnista tõelist lahendust.
Teise astme võrrandisüsteemid
Kui vaatleme samaaegselt kahte või enamat võrrandit, on meil a võrrandisüsteem. 2-muutuja süsteemi lahendus on tellitud paaride komplekt mis rahuldab üheaegselt kõiki kaasatud võrrandeid.
→ Näide
Mõelge süsteemile:
Väärtustega: x ’= 2, x’ ’= - 2 ja y’ = 2, y ’’ = - 2 saame kokku panna järjestatud paarid, mis üheaegselt rahuldavad süsteemivõrrandeid. Vt: (2, 2), (2, - 2), (- 2, 2), (- 2, - 2).
Tuletame meelde, et järjestatud paar on kirjutatud kujul (x, y).
Võrrandisüsteemi lahendi leidmise meetodid on sarnased lineaarsed süsteemid.
→ Näide
Mõelge süsteemile:
Eraldame võrrandist x - y = 0 tundmatu x, seega:
x - y = 0
x = y
Nüüd peame eraldatud väärtuse asendama teise võrrandiga järgmiselt:
x2 - x –12 = 0
y2 - y –12 = 0
Bhaskara meetodit kasutades peame:
Kuna x = y, on meil x ’= y’ ja x ’’ = y ’’. St:
x ’= 4
x ’’ = -3
Seega on järjestatud paarid süsteemi (4, 4) ja (- 3, - 3) lahendid.
Loe rohkem: 1. ja 2. astme võrrandite süsteem
lahendatud harjutused
küsimus 1 - (ESPM -SP) Allpool toodud võrrandi lahenditeks on kaks numbrit
a) nõod.
b) positiivne.
c) negatiivne.
d) paarid.
e) paaritu.
Lahendus
Me teame, et murdosa nimetajad ei saa olla võrdsed nulliga, seega x ≠ 1 ja x ≠ 3. Ja kuna meil on murdude võrdsus, saame ristkorrutada, saades:
(x + 3) · (x + 3) = (x - 1) · (3x +1)
x2 + 6x +9 = 3x2 - 2x - 1
x2 - 3x2 + 6x + 2x +9 +1 = 0
(– 1) - 2x2 + 8x +10 = 0 (– 1)
2x2 - 8x - 10 = 0
Jagades võrrandi mõlemad pooled 2-ga, on meil:
x2 - 4x - 5 = 0
Bhaskara valemit kasutades järeldub, et:
Pange tähele, et võrrandi juured on paaritu arv.
Alternatiivne e.
2. küsimus - (UFPI) Linnukasvataja leidis, et pärast (n +2) linnu paigutamist igasse olemasolevasse puukooli jääb järele vaid üks lind. Lindude koguarv, olenemata n looduslikust väärtusest, on alati
a) paarisarv.
b) paaritu arv.
c) täiuslik ruut.
d) arv, mis jagub 3-ga.
e) algarv.
Lahendus
Lindude arvu saab, korrutades linnumajade arvu igasse lindude arvuga. neist on pärast selle protsessi tegemist harjutuse avaldusega veel üks lind alles, võime selle kõik kirjutada järgmisse viisil:
n · (n + 2) +1
Levitamise abil saame:
ei2 + 2n +1
Ja selle polünoomi arvestamisel järeldub, et:
(n + 1)2
Seega on lindude koguarv alati ideaalne ruut iga loodusliku arvu n jaoks.
Alternatiiv C
autor Robson Luiz
Matemaatikaõpetaja
Allikas: Brasiilia kool - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-2-grau.htm
