Kuni 16. sajandi keskpaigani olid võrrandid nagu x2 - 6x + 10 = 0 peeti lihtsalt lahenduseta. Seda seetõttu, et Bhaskara valemi kohaselt oleks selle võrrandi lahendamisel järgmine tulemus:
Δ = (–6)2 – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4
x = –(– 6) ± √– 4
2·1
x = 6 ± √– 4
2
Probleem leiti √– 4-st, millel pole reaalarvude hulga piires lahendust, see tähendab, et ei on reaalarv, mis iseenesest korrutatuna annab √– 4, kuna 2 · 2 = 4 ja (–2) (- 2) = 4.
Aastal 1572 oli Rafael Bombelli hõivatud võrrandi x lahendamisega3 - 15x - 4 = 0, kasutades Cardano valemit. Selle valemi kaudu jõutakse järeldusele, et sellel võrrandil ei ole tegelikke juuri, kuna see on lõpuks vajalik √– 121 arvutamiseks. Mõne katse järel on siiski võimalik leida, et 43 - 15 · 4 - 4 = 0 ja seetõttu on x = 4 selle võrrandi juur.
Arvestades tegelike juurte olemasolu, mida Cardano valem ei väljenda, tekkis Bombellil mõte oletada et √– 121 tulemuseks oleks √ (- 11 · 11) = 11 · √– 1 ja see võib olla võrrandi „ebareaalne” juur uuritud. Seega oleks √– 121 osa uut tüüpi arvudest, mis moodustavad selle võrrandi teised põhjendamatud juured. Seega võrrand x
3 - 15x - 4 = 0, millel on kolm juurt, oleks x = 4 tegelikuks juureks ja veel kaks sellist uut tüüpi tüüpi juurt.18. sajandi lõpus nimetas Gauss neid numbreid järgmiselt kompleksarvud. Sel ajal olid kompleksarvud juba vormis a + bi, koos i = √– 1. Lisaks The ja B neid peeti juba Dartesiuse tasapinna punktideks, mida tuntakse Argand-Gaussi lennukina. Seega oli kompleksarvu Z = a + bi geomeetriline kujutis ristkülikukujulise tasapinna punkt P (a, b).
Ärge lõpetage kohe... Peale reklaami on veel;)
Seetõttu on väljend „kompleksarvud”Hakati kasutama viitena numbrilisele komplektile, mille esindajad on: Z = a + bi, kus i = √– 1 ja koos The ja B reaalarvude hulka. Seda esindust nimetatakse kompleksarvu Z algebraline vorm.
Kuna kompleksarvud moodustatakse kahe reaalarvuga ja üks neist korrutatakse √– 1, neile tegelikele numbritele on antud eriline nimi. Arvestades kompleksarvu Z = a + bi, on a "Z tegelik osa" ja b "Z kujuteldav osa". Matemaatiliselt võime kirjutada vastavalt: Re (Z) = a ja Im (Z) = b.
Kompleksarvu mooduli idee kristalliseerub analoogselt reaalarvu mooduli ideega. Arvestades punkti P (a, b) kui kompleksarvu Z = a + bi geomeetrilist kujutist, annab punkti P ja punkti (0,0) vaheline kaugus järgmise:
| Z | = √(2 + b2)
Teine võimalus kompleksarvude esitamiseks on Polaar- või trigonomeetriline vorm. See vorm kasutab oma konstitutsioonis kompleksarvu moodulit. Kompleksarvu Z, algebraliselt Z = a + bi, saab polaarvormiga esitada järgmiselt:
Z = | Z | · (cosθ + icosθ)
Huvitav on märkida, et ristkülikukujulist tasapinda defineerivad kaks ristkülikut, mida nimetatakse x- ja y-telgedeks. Me teame, et reaalarvusid saab kujutada sirgega, millele on paigutatud kõik ratsionaalsed arvud. Ülejäänud tühikud täidetakse irratsionaalsete numbritega. Kusjuures tegelikud arvud on kõik sirgel, mida nimetatakse X-telg Dartesiuse tasapinnast oleks kõik muud sellele tasapinnale kuuluvad punktid kompleksarvude ja tegelike arvude vahe. Seega sisaldub reaalarvude hulk kompleksarvude kogumis.
Luiz Paulo Moreira
Lõpetanud matemaatika
Kas soovite sellele tekstile viidata koolis või akadeemilises töös? Vaata:
SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Mis on kompleksarvud?"; Brasiilia kool. Saadaval: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm. Juurdepääs 27. juunil 2021.
