Dispersioonimeetmed: dispersioon ja standardhälve

Uuringus Statistika, meil on mõned strateegiad, et kontrollida, kas andmekogumis esitatud väärtused on hajutatud või mitte ja kui kaugel need võivad olla. Selle võimaldamiseks kasutatud tööriistad klassifitseeritakse järgmiselt: hajutamise meetmed ja helistas dispersioon ja standardhälve. Vaatame, mida igaüks neist esindab:

Dispersioon:

• Andmekogumit arvestades on dispersioon dispersioonimõõt, mis näitab, kui kaugel on selle hulga iga väärtus keskmisest (keskmisest) väärtusest.

• Mida väiksem on dispersioon, seda lähemal on väärtused keskmisele; kuid mida suurem see on, seda kaugemal on väärtused keskmisest.

• Mõelge sellele x₁, x₂,…, X_einad on ei a elemendid proov on see X ja nende elementide aritmeetiline keskmine. Kalkulatsiooni arvutamine valimi dispersioon Selle annab:

  Var. proov = (x₁ – x) ² + (x₂ – x) ² + (x₃ – x)² +... + (x_ei – x)²
  ​n - 1

• Kui seevastu tahame arvutada rahvastiku dispersioon, võtame arvesse kõiki populatsiooni elemente, mitte ainult valimit. Sellisel juhul on arvutusel väike erinevus. Vaata:

  Var. elanikkond = (x₁ – x) ² + (x₂ – x) ² + (x₃ – x)² +... + (x_ei – x)²
  ei

Standardhälve:

• Standardhälve suudab tuvastada andmekogumi „vea“, kui soovisime ühe kogutud väärtuse asendada aritmeetilise keskmega.

• Standardhälve ilmub aritmeetilise keskmise kõrval, mis annab teada, kui usaldusväärne see väärtus on. Seda esitatakse järgmiselt:

  aritmeetiline keskmine (x) ± standardhälve (sd)

• Standardhälbe arvutamine toimub dispersiooni positiivse ruutjuure järgi. Seetõttu:

  dp = √var

Kasutame nüüd dispersiooni ja standardhälbe arvutamist näites:

Ühes koolis otsustas juhatus uurida õpilaste arvu, kellel on kõigis õppeainetes kõik hinned üle keskmise. Selle paremaks analüüsimiseks otsustas direktor Ana kokku panna aasta jooksul nelja klassi valimisse tabeli, milles oli “siniste” hinnete arv. Vt printsipaali korraldatud tabeli all:

Enne dispersiooni arvutamist on vaja kontrollida aritmeetiline keskmine(x) keskmise klassi õpilaste arv igas klassis:

6. aasta → x = 5 + 8 + 10 + 7 = 30 = 7,50.
4 4

7. aasta → x = 8 + 6 + 6 + 12 = 32 = 8,00.
4 4

8. aasta → x = 11 + 9 + 5 + 10 = 35 = 8,75.
4 4

9. aasta → x = 8 + 13 + 9 + 4 = 34 = 8,50.
4 4

Iga klassi keskmisest kõrgema õpilaste arvu dispersiooni arvutamiseks kasutame a proov, sellepärast kasutame valemit valimi dispersioon:

Var. proov = (x₁ – x) ² + (x₂ – x) ² + (x₃ – x)² +... + (x_ei – x)²
n - 1

6. aasta → Var = (5 – 7,50)² + (8 – 7,50)² + (10 – 7,50)² + (7 – 7,50)²
4 – 1

Var = (– 2,50)² + (0,50)² + (2,50)² + (– 0,50)²
3

Var = 6,25 + 0,25 + 6,25 + 0,25
3

Var = 13,00
3
Var = 4,33

7. aasta → Var = (8 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (12 – 8,00)²
4 – 1

Var = (0,00)² + (– 2,00)² + (– 2,00)² + (4,00)²
3

Var = 0,00 + 4,00 + 4,00 + 16,00
3

Var = 24,00
3
Var = 8,00

8. aasta → Var = (11 – 8,75)² + (9 – 8,75)² + (5 – 8,75)² + (10 – 8,75)²
4 – 1

Var = (2,25)² + (0,25)² + (– 3,75)² + (1,25)²
3

Var = 5,06 + 0,06 + 14,06 + 1,56
3

Var = 20,74
3
Var = 6,91

9. aasta → Var = (8 – 8,50)² + (13 – 8,50)² + (9 – 8,50)² + (4 – 8,50)²
4 – 1

Var = (– 0,50)² + (4,50)² + (0,50)² + (– 4,50)²
3

Var = 0,25 + 20,25 + 0,25 + 20,25
3

Var = 41,00
3
Var = 13,66

Kui iga klassi dispersioon on teada, arvutame nüüd standardhälbe:

6. aasta dp = √var dp = √4,33 ​dp ≈ 2,08

7. aasta dp = √var dp = √8.00 ​dp ≈ 2,83

8. aasta dp = √var dp = √6,91 ​dp ≈ 2,63

9. aasta dp = √var dp = √13,66 ​dp ≈ 3,70

Analüüsi lõpuleviimiseks võib direktor esitada järgmised väärtused, mis näitavad keskmist õpilaste arvu üle küsitletud klassi:

6. aasta: 7,50 ± 2,08 õpilast üle keskmise õppeaasta jooksul;
7. aasta: 8,00 ± 2,83 õpilast üle kahe kuu keskmise;
8. aasta: 8,75 ± 2,63 õpilast üle kahe kuu keskmise;
9. aasta: 8,50 ± 3,70 õpilast üle kahe kuu keskmise;

Teine hajumise mõõt on variatsioonikordaja. Vaata siin kuidas seda arvutada!

Autor Amanda Gonçalves
Lõpetanud matemaatika

Allikas: Brasiilia kool - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/medidas-dispersao-variancia-desvio-padrao.htm