Kuni 16. sajandi keskpaigani olid võrrandid nagu x2 - 6x + 10 = 0 peeti lihtsalt lahenduseta. Seda seetõttu, et Bhaskara valemi kohaselt oleks selle võrrandi lahendamisel järgmine tulemus:
Δ = (–6)2 – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4
x = –(– 6) ± √– 4
2·1
x = 6 ± √– 4
2
Probleem leiti √– 4-st, millel pole reaalarvude hulga piires lahendust, see tähendab, et ei on reaalarv, mis iseenesest korrutatuna annab √– 4, kuna 2 · 2 = 4 ja (–2) (- 2) = 4.
Aastal 1572 oli Rafael Bombelli hõivatud võrrandi x lahendamisega3 - 15x - 4 = 0, kasutades Cardano valemit. Selle valemi kaudu järeldatakse, et sellel võrrandil ei ole tegelikke juuri, kuna see on lõpuks vajalik √– 121 arvutamiseks. Mõne katse järel on siiski võimalik leida, et 43 - 15 · 4 - 4 = 0 ja seetõttu on x = 4 selle võrrandi juur.
Arvestades tegelike juurte olemasolu, mida Cardano valem ei väljenda, tuli Bombellil mõte oletada et √– 121 tulemuseks oleks √ (- 11 · 11) = 11 · √– 1 ja see võib olla võrrandi „ebareaalne” juur uuritud. Seega oleks √– 121 osa uut tüüpi arvudest, mis moodustavad selle võrrandi teised põhjendamatud juured. Seega võrrand x
3 - 15x - 4 = 0, millel on kolm juurt, oleks tegelikuks juureks x = 4 ja sellele uuele arvuliigile veel kaks teist juurt.18. sajandi lõpus nimetas Gauss neid numbreid järgmiselt kompleksarvud. Sel ajal olid kompleksarvud juba vormis a + bi, koos i = √– 1. Lisaks The ja B neid peeti juba Dartesiuse tasapinna punktideks, mida tuntakse Argand-Gaussi lennukina. Seega oli kompleksarvu Z = a + bi geomeetriline kujutis ristkülikutasandi punkt P (a, b).
Seetõttu on väljend „kompleksarvud”Hakati kasutama viitena numbrilisele komplektile, mille esindajad on: Z = a + bi, kus i = √– 1 ja koos The ja B reaalarvude hulka. Seda esindust nimetatakse kompleksarvu Z algebraline vorm.
Kuna kompleksarvud moodustatakse kahe reaalarvuga ja üks neist korrutatakse √– 1, neile tegelikele numbritele on antud eriline nimi. Arvestades kompleksarvu Z = a + bi, on a "Z tegelik osa" ja b "Z mõtteline osa". Matemaatiliselt võime kirjutada vastavalt: Re (Z) = a ja Im (Z) = b.
Kompleksarvu mooduli idee kristalliseerub analoogselt reaalarvu mooduli ideega. Arvestades punkti P (a, b) kui kompleksarvu Z = a + bi geomeetrilist kujutist, annab punkti P ja punkti (0,0) vaheline kaugus järgmise:
| Z | = √(2 + b2)
Teine võimalus kompleksarvude esitamiseks on Polaar- või trigonomeetriline vorm. See vorm kasutab oma konstitutsioonis kompleksarvu moodulit. Kompleksarvu Z, algebraliselt Z = a + bi, saab polaarvormiga esitada järgmiselt:
Z = | Z | · (cosθ + icosθ)
Huvitav on märkida, et ristkülikukujulist tasapinda määravad kaks ristkülikut, mida nimetatakse x- ja y-telgedeks. Me teame, et reaalarvusid saab kujutada sirgega, millele asetatakse kõik ratsionaalsed arvud. Ülejäänud tühikud täidetakse irratsionaalsete numbritega. Kusjuures reaalarvud on kõik sirgel, mida nimetatakse X-telg Dartesiuse tasapinnast oleksid kõik teised sellele tasapinnale kuuluvad punktid kompleksarvude ja tegelike arvude vahe. Seega sisaldub reaalarvude hulk kompleksarvude kogumis.
Luiz Paulo Moreira
Lõpetanud matemaatika
Allikas: Brasiilia kool - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm
