Üks lahendamiseks kasutatav tehnika ruutvõrrandid on meetod, mida nimetatakse täielikud ruudud. See meetod seisneb dokumendi tõlgendamises võrrand kohta teinekraadi nagu täiuslik nelinurkne kolmiknurk ja kirjutage oma arvestuslik vorm. Mõnikord paljastab see lihtne protseduur võrrandi juured.
Seetõttu on vaja omada algteadmisi märkimisväärsed tooted, trinoomneruutTäiuslik ja polünoomne faktoriseerimine selle tehnika kasutamiseks. Sageli võimaldab see arvutusi siiski teha “peas”.
Seetõttu tuletame meelde kolme juhtumit tootedtähelepanuväärne enne meetodlõpetamaruudud, mis omakorda puutub kokku kolme erineva juhtumiga.
Silmapaistvad tooted ja täiuslikud kandilised trinoomid
Järgmisena vaadake tähelepanuväärset toodet trinoomneruutTäiuslik mis on samaväärne selle ja kujuga arvestatud vastavalt sellele trinoomile. Selleks arvestage, et x on tundmatu ja The on mis tahes tegelik arv.
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2 = (x + k) (x + k)
(x - k)2 = x2 - 2kx + k2 = (x - k) (x - k)
Kolmandale viitava teise astme võrrand
tootetähelepanuväärne, mida tuntakse summa ja vahe korrutisena, saab lahendada tehnika abil, mis muudab arvutused veelgi lihtsamaks. Seetõttu seda siin ei arvestata.Võrrand on täiuslik ruutkolmnurk
Kui üks võrrand kohta teinekraadi on täiuslik ruutkolmnurk, siis saate selle koefitsiendid tuvastada järgmiselt: a = 1, b = 2k või - 2k ja c = k2. Selle kontrollimiseks võrrelge lihtsalt ruutvõrrandit a-ga trinoomneruutTäiuslik.
Seetõttu lahuses võrrand kohta teinekraadi x2 + 2kx + k2 = 0, meil on alati võimalus teha:
x2 + 2kx + k2 = 0
(x + k)2 = 0
√ [(x + k)2] = √0
| x + k | = 0
x + k = 0
x = - k
- x - k = 0
x = - k
Seega on lahendus ainulaadne ja võrdub –k-ga.
Kui võrrand olema x2 - 2kx + k2 = 0, saame teha sama:
x2 - 2kx + k2 = 0
(x - k)2 = 0
√ [(x - k)2] = √0
| x - k | = 0
x - k = 0
x = k
- x + k = 0
- x = - k
x = k
Seetõttu on lahendus ainulaadne ja võrdne k-ga.
Näide: Millised on juured võrrand x2 + 16x + 64 = 0?
Pange tähele, et võrrand on a trinoomneruutTäiuslik, kuna 2k = 16, kus k = 8 ja k2 = 64, kus k = 8. Nii saame kirjutada:
x2 + 16x + 64 = 0
(x + 8)2 = 0
√ [(x + 8)2] = √0
x + 8 = 0
x = - 8
Siin on tulemus lihtsustatud, kuna me juba teame, et need kaks lahendust võrduvad sama reaalarvuga.
Ärge lõpetage kohe... Peale reklaami on veel;)
Võrrand ei ole täiuslik nelinurkne trinoom
Juhtudel, kui võrrand kohta teinekraadi ei ole täiuslik nelinurkne trinoom, võime selle tulemuste arvutamiseks kaaluda järgmist hüpoteesi:
x2 + 2kx + C = 0
Pange tähele, et selle võrrandi muutumiseks a-ks trinoomneruutTäiuslik, asendage lihtsalt C väärtus k väärtusega2. Kuna see on võrrand, on ainus viis seda teha lisades k2 mõlemal liikmel, vahetades seejärel liikme koefitsiendi C. Vaata:
x2 + 2kx + C = 0
x2 + 2kx + C + k2 = 0 + k2
x2 + 2kx + k2 = k2 - Ç
Pärast seda protseduuri saame jätkata eelmist tehnikat, teisendades trinoomneruutTäiuslik tähelepanuväärseks korrutiseks ja mõlema jäseme ruutjuurte arvutamiseks.
x2 + 2kx + k2 = k2 - Ç
(x + k)2 = k2 - Ç
√ [(x + k)2] = √ (k2 - Ç)
x + k = ± √ (k2 - Ç)
± märk ilmub alati, kui on saadud a võrrand on ruutjuur, sest nendel juhtudel on ruutjuure tulemus a moodul, nagu on näidatud esimeses näites. Lõpuks jääb üle vaid teha:
x = - k ± √ (k2 - Ç)
Niisiis võrrandid on kaks tulemust päris ja selge või puudub tegelik tulemus, kui C> k2.
Näiteks, arvutage x juured2 + 6x + 8 = 0.
Lahendus: Pange tähele, et 6 = 2,3x. Seega k = 3 ja seega k2 = 9. Seetõttu on arv, mille peame lisama mõlemasse liikmesse, võrdne 9-ga:
x2 + 6x + 8 = 0
x2 + 6x + 8 + 9 = 0 + 9
x2 + 6x + 9 = 9-8
x2 + 6x + 9 = 1
(x + 3)2 = 1
√ [(x + 3)2] = ± √1
x + 3 = ± 1
x = ± 1 - 3
x ’= 1 - 3 = - 2
x ’’ = - 1 - 3 = - 4
Sel juhul koefitsient a ≠ 1
kui koefitsient The, annab võrrand kohta teinekraadi, erineb 1-st, jagage lihtsalt kogu võrrand koefitsiendi arvväärtusega The seejärel rakendada ühte kahest eelmisest meetodist.
Niisiis, 2x võrrandis2 + 32x + 128 = 0, on unikaalne juur võrdne 8-ga, sest:
2x2+ 32x + 128 = 0
2 2 2 2
x2 + 16x + 64 = 0
Ja 3x võrrandis2 + 18x + 24 = 0, meil on juured - 2 ja - 4, sest:
3x2 + 18x + 24 = 0
3 3 3 3
x2 + 6x + 8 = 0
Luiz Paulo Moreira
Lõpetanud matemaatika
