Algebra see on matemaatika haru, mis üldistab aritmeetikat. See tähendab, et mõisted ja toimingud aritmeetikast (liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine jne) testitakse ja nende tõhusust tõestatakse kõigi teatud komplektidesse kuuluvate arvude puhul numbriline.
Kas näiteks „liitmise“ toiming töötab tõesti kõigi looduslike arvude hulka kuuluvate numbrite puhul? Või on seal mõni väga suur, lõpmatusele lähedane looduslik arv, mis kokku liites käitub teistest erinevalt? Sellele küsimusele annab vastuse algebra: Esiteks määratletakse loodusarvude hulk ja operatsioon lisab; siis on tõestatud, et liitmisoperatsioon töötab mis tahes loodusliku arvu korral.
USA algebra uuringud, tähti kasutatakse numbrite tähistamiseks. Need tähed võivad tähistada kas tundmatuid numbreid või mis tahes numbrit, mis kuulub numbrikomplekti. Kui x on näiteks paarisarv, siis võib x olla 2, 4, 6, 8, 10,... Nii on x suvaline arv, mis kuulub paarisarvude hulka ja on selge, milline number x on: 2 korrutis.
Matemaatiliste tehete omadused
Teades, et suvalist hulga hulka kuuluvat numbrit saab tähega tähistada, pidage numbreid x, y ja z numbrite hulka kuuluvaks. päris ja toimingud lisamine ja korrutamine mida tähistavad vastavalt “+” ja “·”. Seega kehtivad x, y ja z puhul järgmised omadused:
1 - assotsiatiivsus
(x + y) + z = x + (y + z)
(x · y) · z = x · (y · z)
2 - kommutatiivsus
x + y = y + x
x · y = y · x
3 - neutraalse elemendi olemasolu (1 korrutamiseks ja 0 liitmiseks)
x + 0 = x
x · 1 = x
4 - olemasolu(või sümmeetriline) element.
x + (–x) = 0
x · 1 = 1
x
5 - levitamine (nimetatakse ka liitmise korrutamise korrutise omaduseks)
x · (y + z) = x · y + x · z
Need viis omadust kehtivad kõigi reaalarvude x, y ja z puhul, kuna neid tähti kasutati mis tahes reaalarvu tähistamiseks. Need kehtivad ka liitmis- ja korrutustoimingute jaoks.
algebralised väljendid
Matemaatikas, väljendus on mõnede numbritega tehtud matemaatiliste toimingute jada. Näiteks: 2 + 3 - 7 on arvuline avaldis. Kui see väljend hõlmab tundmatuid numbreid (tundmatuid), nimetatakse seda algebraline avaldis. Algebralist avaldist, millel on ainult üks termin, nimetatakse monoomiumiks. Ükskõik algebraline avaldis seda kahe monoomi liitmise või lahutamise tulemust nimetatakse polünoomiks.
algebralised väljendid, monomeerid ja polünoomid on näited algebrasse kuuluvatest elementidest, kuna need koosnevad tundmatute numbritega tehtud toimingutest. Pidage meeles, et tundmatu number võib tähistada mis tahes numbrit numbrikomplektis.
Ärge lõpetage kohe... Peale reklaami on veel;)
Võrrandid
Võrrandid nemad on algebralised väljendid kellel on võrdsus. Seega võrrand see on matemaatika sisu, mis seob võrdsuse kaudu numbreid tundmatutega.
Tundmatu olemasolu klassifitseerib võrrand algebralise avaldisena. Võrdsuse olemasolu võimaldab leida võrrandi lahendi, see tähendab tundmatu arvväärtuse.
Näited
1) 2x + 4 = 0
2) 4x - 4 = 19 - 8x
3) 2x2 + 8x - 9 = 0
Rollid
Funktsiooni ametlik määratlus on järgmine: okupatsioon see on reegel, mis seob hulga iga elemendi teise hulga ühe elemendiga.
Seda reeglit esindab matemaatiliselt algebraline avaldis, millel on võrdsus, kuid mis seob tundmatut tundmatuga. See on erinevus funktsiooni ja võrrandi vahel: võrrand seob tundmatut fikseeritud numbriga; kell okupatsioon, tundmatu tähistab tervet numbrilist komplekti. Sel põhjusel nimetatakse tundmatuid funktsioonide piires muutujateks, kuna need võivad võtta mis tahes väärtuse nende esindatava hulga piires.
Kuna see hõlmab algebralisi väljendeid, okupatsioon see on ka algebrasse kuuluv sisu, kuna tähed tähistavad mis tahes numbrit, mis kuulub mis tahes numbrikomplekti.
Näited:
1) Vaatleme funktsiooni y = x2, kus x on ükskõik milline reaalarv.
Selles okupatsioon, muutuja x võib võtta reaalarvude hulga suvalise väärtuse. Kuna reegel, mis ühendab x-ga tähistatud numbrid y-ga esindatud numbritega, on matemaatiline põhitoiming, seega tähistab y ka reaalarvusid. Ainus detail selle kohta on see, et y ei saa selles funktsioonis kujutada negatiivset reaalarvu, kuna y on eksponentvõimsuse 2 tulemus, millel on alati positiivne tulemus.
2) Vaatleme funktsiooni y = 2x, kus x on a loomulik arv.
Selles okupatsioon, võib muutuja x võtta looduslike arvude hulga suvalise väärtuse. Need arvud on positiivsed täisarvud, nii et väärtused, mida y võib võtta, on looduslikud arvud 2-kordsed. Sel viisil on y paarisarvude hulga esindaja.
Klassikalisest algebrast abstraktse algebrani
Siiani loetletud mõisted moodustavad klassikaline algebra. See algebra osa on rohkem seotud looduslike, täisarvuliste, ratsionaalsete, irratsionaalsete, reaalsete ja kompleksarvude komplektidega ning seda uuritakse nii alg- kui ka kõrghariduses. Algebra teine osa, mida nimetatakse abstraktseks, uurib neid samu struktuure, kuid mis tahes komplektide jaoks.
Seega, arvestades mis tahes komplekti, koos ükskõik milliste elementidega (arvudega või mitte), on võimalik määratleda operatsioon "liitmine", operatsioon "korrutamine" ja kontrollige nende toimingute omaduste olemasolu või puudumist, samuti "võrrandite", "funktsioonide", "polünoomide" kehtivust jne.
Luiz Paulo Moreira
Lõpetanud matemaatika
