Kolmnurkmaatriks: tüübid, determinant, harjutused

Maatriks on kolmnurkne kui põhidiagonaali kohal olevad elemendid või põhidiagonaali all olevad elemendid on nullid. Seda tüüpi maatriksit on võimalik liigitada kahel viisil: esimene on see, kui põhidiagonaali kohal olevad elemendid on nullid, mis paneb alumise kolmnurkse maatriksi; teine ​​on see, kui põhidiagonaali all olevad elemendid on nullid, moodustades ülemise kolmnurkse maatriksi.

Kolmnurkmaatriksi determinandi arvutamiseks Sarruse reegli järgi tehke lihtsalt peamine diagonaalne korrutamine, kuna ülejäänud korrutised on kõik võrdsed nulliga.

Loe ka: Massiiv - mis see on ja olemasolevad tüübid

Kolmnurkmaatriks on maatriksi konkreetne juhtum.

Kolmnurkse maatriksi tüübid

Kolmnurkse maatriksi mõistmiseks on oluline meeles pidada, milline on ruutmaatriksi peamine diagonaal, milleks on sama arv ridu ja veergu sisaldav maatriks. Maatriksi peamine diagonaal on mõisted a._ij, kus i = j, see tähendab, need on terminid, milles rea number on võrdne veeru numbriga.

Näide:

Peamise diagonaali mõisted on esile tõstetud punasega.

Mõistes, mis on ruutmaatriks ja mis on selle peamine diagonaal, teame, mis on kolmnurkmaatriks ja selle klassifikatsioonid. Kolmnurkse maatriksi jaoks on kaks võimalikku klassifikatsiooni: Thealumine kolmnurkmaatriks ja ülemine kolmnurkmaatriks.

• Alumine kolmnurkne maatriks: tekib siis, kui kõik põhidiagonaali kohal olevad mõisted on võrdsed nulliga ja põhidiagonaali all olevad mõisted on reaalarvud.

Numbriline näide:

• Ülemine kolmnurkmaatriks: tekib siis, kui kõik põhidiagonaali all olevad mõisted on võrdsed nulliga ja peadiagonaali kohal olevad mõisted on reaalarvud.

Numbriline näide:

diagonaalmaatriks

Diagonaalmaatriks on a kolmnurkmaatriksi konkreetne juhtum. Selles on nullist erinevad ainsad mõisted, mis asuvad põhidiagonaalis. Põhidiagonaali kohal või all olevad mõisted on kõik võrdsed nulliga.

Numbrilised näited diagonaalsest maatriksist:

Kolmnurkse maatriksi määraja

Antud kolmnurkmaatriks, arvutades selle maatriksi determinandi Sarruse reegel, näete, et kõik korrutised on võrdsed nulliga, välja arvatud peadiagonaali termini korrutamine.

det (A) = a₁₁ · A₂₂· A₃₃ +₁₂ · A₂₃ · 0 +₁₃ · 0 · 0 - (The₁₃ · The₂₃ ·0 +₁₁ · A₂₃ · 0 +₁₂ · 0· A₃₃)

Pange tähele, et kõigis tingimustes, välja arvatud esimene, on null üheks teguriks ja kõik korrutamine nulliga võrdub nulliga, seega:

det (A) = a₁₁ · A₂₂· A₃₃

Pange tähele, et see on põhidiagonaali mõistete vaheline korrutis.

Olenemata kolmnurkse maatriksi ridade ja veergude arvust, on see determinant on alati võrdne põhidiagonaali terminite korrutisega.

Vaadake ka: Determinant - ruutmaatriksitele rakendatav tunnus

Kolmnurkse maatriksi omadused

Kolmnurkmaatriksil on mõned spetsiifilised omadused.

• 1. vara: kolmnurkmaatriksi determinant on võrdne peadiagonaali terminite korrutisega.
• 2. vara: kahe kolmnurkse maatriksi vaheline korrutis on kolmnurkne maatriks.
• 3. vara: kui üks kolmnurkmaatriksi põhidiagonaali terminitest on võrdne nulliga, siis on selle determinant võrdne nulliga ja järelikult pole see pööratav.
• 4. vara: kolmnurkmaatriksi pöördmaatriks on ka kolmnurkmaatriks.
• 5. vara: kahe ülemise kolmnurkse maatriksi summa on ülemine kolmnurkne maatriks; samamoodi on kahe alumise kolmnurkse maatriksi summa madalam kolmnurkne maatriks.

lahendatud harjutused

1) Maatriksi A korral on A determinanti väärtus:

a) 2

b) 0

c) 9

d) 45

e) 25

Resolutsioon

Alternatiiv d.

See maatriks on madalam kolmnurkne, seega on selle määravaks terminite korrutamine peamisel diagonaalil.

det (A) = 1,3-3,3-1,5 = 45

2) Hinnake järgmisi väiteid.

I → Iga ruutmaatriks on kolmnurkne.

II → Alumise kolmnurkmaatriksiga ülemise kolmnurkmaatriksi summa on alati kolmnurkmaatriks.

III → Iga diagonaalse identiteedi maatriks on kolmnurkne maatriks.

Õige järjekord on:

a) V, V, V.

b) F, F, F.

c) F, V, F.

d) F, F, V.

e) V, V, F.

Resolutsioon

Alternatiiv d.

I → Vale, sest iga kolmnurkmaatriks on ruut, kuid mitte iga ruutmaatriks on kolmnurkne.

II → Vale, kuna ülemise ja alumise kolmnurkmaatriksi summa ei anna alati kolmnurkmaatriksit.

III → Tõsi, kuna diagonaalist erinevad mõisted on võrdsed nulliga.

Autor Raul Rodrigues de Oliveira
Matemaatikaõpetaja

Allikas: Brasiilia kool - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-triangular.htm