Võrrandite lahendamine on igapäevane tegevus. Intuitiivselt lahendame võrrandeid oma igapäevaelus ega saa sellest isegi aru. Esitades järgmise küsimuse: "Mis kell ma peaksin üles tõusma, et minna kooli, et ma seda ei teeks hilinema?" ja saame vastuse, tegelikult lahendasime lihtsalt võrrandi, kus tundmatu on aeg. Need igapäevased küsimused on alati kutsunud matemaatikuid läbi aegade otsima võrrandite lahendusi ja meetodeid.
Baskara valem on üks võrrandi lahendamise kuulsamaid meetodeid. See on “retsept”, matemaatiline mudel, mis annab peaaegu koheselt II astme võrrandi juured. Huvitaval kombel pole võrrandite lahendamiseks nii palju valemeid, kui võiks arvata. Kolmanda ja neljanda astme võrrandeid on väga keeruline lahendada ning seda tüüpi võrrandite lihtsamateks juhtumiteks on valemid.
Huvitav on teada, et võrrandi aste määrab, kui palju selle juuri on. Me teame, et 2. astme võrrandil on kaks juurt. Seetõttu on 3. astme võrrandil kolm juurt jne. Nüüd vaatame, mis juhtub mõne võrrandiga.
Näide. Lahendage võrrandid:
a) x2 + 3x - 4 = 0
Lahendus: Rakendades 2. astme võrrandi lahendamiseks Baskara valemit, saame:
Me teame, et a = 1, b = 3 ja c = - 4. Seega
Kuna lahendame 2. astme võrrandi, on meil kaks juurt.
b) x3 – 8 = 0
Lahendus: sel juhul on meil mittetäielik lihtsa eraldusvõimega kolmanda astme võrrand. 
Lahendus: Sel juhul on meil puudulik 4. astme võrrand, mida nimetatakse ka kahe ruudu võrrandiks. Ka seda tüüpi võrrandi lahendus on lihtne. Vaata:
x võrrand4 + 3x2 - 4 = 0 saab ümber kirjutada järgmiselt:
(x2)2 + 3x2 – 4 =0
x-i tegemine2 = t ja ülaltoodud võrrandis asendades saame:
t2 + 3t - 4 = 0 → mis on 2. astme võrrand.
Selle võrrandi saame lahendada Baskara valemi abil.
Need väärtused ei ole võrrandi juured, kuna tundmatu on x ja mitte t. Kuid me peame:
x2 = t
Siis,
x2 = 1 või x2 = – 4
x-st2 = 1, saame, et x = 1 või x = - 1.
x-st2 = - 4, saame, et pole ühtegi tegelikku arvu, mis võrrandit rahuldaks.
Seetõttu on S = {- 1, 1}
Pange tähele, et alternatiivina The meil oli 2. astme võrrand ja leidsime kaks juurt. Teise võimalusena B lahendame 3. astme võrrandi ja leiame ainult ühe juure. Ja kauba võrrand ç, see oli 4. astme võrrand ja leidsime ainult kaks juurt.
Nagu varem öeldud, määrab võrrandi aste, kui palju juuri sellel on:
2. klass → kaks juurt
3. klass → kolm juurt
4. klass → neli juurt
Aga mis juhtus alternatiivsete võrranditega B ja ç?
Selgub, et n ≥ 2 astme võrrandil võivad olla tegelikud juured ja keerulised juured. Punkti b kolmanda astme võrrandi korral leiame ainult ühe tegeliku juure, ülejäänud kaks juurt on kompleksarvud. Sama kehtib ka punkti c võrrandi kohta: leiame kaks tegelikku juurt, ülejäänud kaks on keerulised.
Keeruliste juurte kohta on meil järgmine lause.
Kui kompleksarv a + bi, b ≠ 0, on võrrandi a juur0xei +1xn-1+... +n-1x + aei = 0, tegelike koefitsientide arv, seega on ka tema konjugaat a - bi võrrandi juur.
Teoreemi tagajärjed on järgmised:
• 2. astme võrrand reaalsete koefitsientidega → sisaldab ainult tegelikke juuri või kahte konjugeeritud kompleksjuuri.
• 3. astme võrrand reaalsete koefitsientidega → sisaldab ainult tegelikke juuri või ühte reaaljuurt ja kahte konjugeeritud kompleksjuuri.
• 4. astme võrrand tegelike koefitsientidega → sisaldab ainult reaalseid juuri või kahte keerukat konjugaadi juurt ja kahte reaalset või ainult nelja keerukat konjugaadi juurt, kakshaaval.
• 5. astme võrrand reaalsete koefitsientidega → sisaldab ainult tegelikke juuri või kahte keerukat juurt konjugeeritud ja teine tõeline või vähemalt üks tõeline juur ja teised keerulised juured, kakshaaval konjugeeritud.
Sama kehtib ka üle 5-kraadiste võrrandite kohta.
Autor Marcelo Rigonatto
Statistika ja matemaatilise modelleerimise spetsialist
Brasiilia koolimeeskond
Kompleksarvud - Matemaatika - Brasiilia kool
Allikas: Brasiilia kool - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numero-raizes-uma-equacao.htm