Uno ecuación es una oración matemática que tiene una igualdad y al menos una desconocida, es decir, cuando tenemos la participación de una expresión algebraica y una igualdad. El estudio de ecuaciones requiere conocimientos previos, como el estudio de expresiones numéricas. El propósito de una ecuación es encuentra el valor desconocido que convierte la igualdad en una identidad, es decir, una verdadera igualdad.
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Conceptos básicos para el estudio de ecuaciones
Una ecuación es una oración matemática que tiene un desconocido, al menos, y un igualdad, y podemos clasificarlo por su número de incógnitas. Vea algunos ejemplos:
a) 5t - 9 = 16
La ecuación tiene una incógnita, representada por la letra t.
b) 5x + 6y = 1
La ecuación tiene dos incógnitas, representadas por las letras X y y.
c) t4 - 8z = x
La ecuación tiene tres incógnitas, representadas por las letras OK,z y X.
Cualquiera que sea la ecuación, debemos tener en cuenta su conjunto de universo,
compuesto por todos los valores posibles que podemos asignar a lo desconocido, este conjunto está representado por la letra U.Ejemplo 1
Considere la ecuación x + 1 = 0 y su posible solución x = –1. Ahora considere que el conjunto de universos de la ecuación son los natural.
Tenga en cuenta que la supuesta solución no pertenece al conjunto de universos, ya que sus elementos son todos los valores posibles que puede tomar la incógnita, por lo que x = –1 no es la solución de la ecuación.
Por supuesto, cuanto mayor sea el número de incógnitas, más difícil será determinar su solución. LA solución o fuente de una ecuación es el conjunto de todos los valores que, cuando se asignan a lo desconocido, hacen que la igualdad sea verdadera.
Ejemplo 2
Considere la ecuación con una incógnita 5x - 9 = 16, verifique que x = 5 es la solución o raíz de la ecuación.
Para que sea posible decir que x = 5 es la solución de la ecuación, debemos sustituir este valor en la expresión, si encontramos una verdadera igualdad, el número será la solución probada.
5X – 9 = 16
5(5) – 9 = 16
25 – 9 = 16
16 = 16
Vea que la igualdad encontrada es verdadera, entonces tenemos una identidad y el número 5 es una solución. Entonces podemos decir que el conjunto de soluciones viene dado por:
S = {5}
Ejemplo 3
Considere la ecuación t2 = 4 y compruebe si t = 2 o t = –2 son soluciones de la ecuación.
De manera análoga, debemos sustituir el valor de t en la ecuación, sin embargo, tenga en cuenta que tenemos dos valores para la incógnita y, por lo tanto, debemos realizar la verificación en dos pasos.
Paso 1 - Para t = 2
t2= 4
22 = 4
4 = 4
Paso 2 - Para t = –2
t2 = 4
(–2)2 = 4
4 = 4
Vea para t = 2 y t = - 2 encontramos una identidad, por lo que estos dos valores son soluciones a la ecuación. Por tanto, podemos decir que el conjunto de soluciones es:
S = {2, –2}
Tipos de ecuaciones
También podemos clasificar una ecuación en función de la posición que ocupan las incógnitas. Ver los principales tipos:
Ecuaciones polinomiales
A ecuaciones polinomiales se caracterizan por tener un polinomio igual a cero. Vea algunos ejemplos:
La) 6t3+ 5t2–5t = 0
Los numeros6, 5 y –5 son los coeficientes de la ecuación.
B) 9X – 9= 0
Los numeros 9 y – 9 son los coeficientes de la ecuación.
c) y2– y – 1 = 0
Los numeros 1, – 1 y – 1 son los coeficientes de la ecuación.
Grados de ecuación
Las ecuaciones polinomiales se pueden clasificar por su grado. Así como el polinomios, el grado de una ecuación polinomial viene dado por máxima potencia que tiene un coeficiente distinto de cero.
De los ejemplos anteriores a, byc, tenemos que los grados de las ecuaciones son:
a) 6t3 + 5t2 –5t = 0 → Ecuación polinomial de tercer grado
b) 9X - 9 = 0 → Ecuación polinomial de primer grado
C) y2 - y - 1 = 0 → Ecuación polinomial de segundo grado
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ecuaciones racionales
Las ecuaciones racionales se caracterizan por tener su incógnitas en el denominador de un fracción. Vea algunos ejemplos:
Leer tambien: ¿Qué son los números racionales?
ecuaciones irracionales
A ecuaciones irracionales se caracterizan por tener su incógnitas dentro de una raíz enésima, es decir, dentro de un radical que tiene índice n. Vea algunos ejemplos:
ecuaciones exponenciales
A ecuaciones exponenciales tener el incógnitas ubicadas en el exponente de una Potencia. Vea algunos ejemplos:
ecuación logarítmica
A ecuaciones logarítmicas se caracterizan por tener una o más incógnitas en alguna parte del logaritmo. Veremos que, al aplicar la definición del logaritmo, la ecuación cae en alguno de los casos anteriores. Vea algunos ejemplos:
Vea también: Ecuación de primer grado con una incógnita
¿Cómo resolver una ecuación?
Para resolver una ecuación, debemos estudiar el métodos utilizados en cada tipo, es decir, para cada tipo de ecuación, existe un método diferente para determinar las posibles raíces. Sin embargo, todos estos métodos son derivado del principio de equivalencia, con él es posible resolver los principales tipos de ecuaciones.
Principio de equivalencia
Segundo principio de equivalencia, podemos operar libremente en un lado de una igualdad siempre que hagamos lo mismo en el otro lado de la igualdad. Para mejorar la comprensión, nombraremos estos lados.
Por tanto, el principio de equivalencia establece que es posible operar en la primera extremidad libremente siempre que el se realiza la misma operación en el segundo miembro.
Para verificar el principio de equivalencia, considere la siguiente igualdad:
5 = 5
Ahora vamos para agregar en ambos lados el número 7, y tenga en cuenta que la igualdad seguirá siendo cierta:
5 =5
5 + 7= 5 + 7
12 = 12
Vamos ahora sustraer 10 en ambos lados de la igualdad, tenga en cuenta de nuevo que la igualdad seguirá siendo cierta:
12 = 12
12 – 10 = 12 – 10
2 = 2
mira que podemos multiplicar o Cuota y subir a un Potencia o incluso extraer un fuente, siempre que se haga en el primer y segundo miembro, la igualdad siempre será cierta.
Para resolver una ecuación, debemos utilizar este principio junto con el conocimiento de las operaciones mencionadas. Para facilitar el desarrollo de las ecuaciones, omitamos la operación realizada en el primer miembro, equivale a decir que le estamos pasando el número al otro miembro, intercambiando el signo por el contrario.
La idea para determinar la solución de una ecuación es siempre aislar lo desconocido usando el principio de equivalencia, vea:
Ejemplo 4
Usando el principio de equivalencia, determine el conjunto de solución de la ecuación 2x - 4 = 8 sabiendo que el conjunto de universo está dado por: U = ℝ.
2x - 4 = 8
Para resolver una ecuación polinomial de primer grado, debemos dejar aislada la incógnita del primer miembro. Para ello, tomaremos el número –4 del primer miembro, sumando 4 en ambos lados, ya que –4 + 4 = 0.
2x - 4 = 8
2x - 4+ 4 = 8+ 4
2x = 12
Tenga en cuenta que realizar este proceso es equivalente a simplemente pasar el número 4 con el signo contrario. Entonces, para aislar la x desconocida, pasemos el número 2 al segundo miembro, ya que multiplica x. (Recuerde: la operación inversa de la multiplicación es la división). Sería lo mismo que dividir ambos lados entre 2.
Por tanto, el conjunto de soluciones viene dado por:
S = {6}
Ejemplo 5
Resuelve la ecuación 2x + 5 = 128 sabiendo que el conjunto de universos está dado por U = ℝ.
Para resolver la ecuación exponencial, primero usemos lo siguiente propiedad de potenciación:
Lam + n = elmetro · aNo
También usaremos el hecho de que 22 = 4 y 25 = 32.
2x + 5 = 128
2X · 25 = 128
2X · 32 = 128
Tenga en cuenta que es posible dividir ambos lados por 32, es decir, pasar el número 32 al segundo miembro dividiendo.
Entonces tenemos que:
2X = 4
2X = 22
El único valor de x que satisface la igualdad es el número 2, entonces x = 2 y el conjunto solución viene dado por:
S = {2}
ejercicios resueltos
Pregunta 1 - Considere el universo conjunto U = ℕ y determine la solución de la siguiente ecuación irracional:
Resolución
Para resolver esta ecuación, debemos preocuparnos por eliminar la raíz del primer miembro. Tenga en cuenta que, para ello, es necesario elevar el primer miembro al mismo índice que la raíz, es decir, al cubo. Por el principio de equivalencia, también debemos plantear el segundo miembro de igualdad.
Tenga en cuenta que ahora debemos resolver una ecuación polinomial de segundo grado. Pasemos el número 11 al segundo miembro (reste 11 en ambos lados de la igualdad), para aislar la x desconocida.
X2 = 27 – 11
X2 = 16
Ahora para determinar el valor de x, vea que hay dos valores que satisfacen la igualdad, x ’= 4 o x’ ’= –4, una vez que:
42 = 16
y
(–4)2 = 16
Sin embargo, tenga en cuenta en el enunciado de la pregunta que el conjunto de universos dado es el conjunto de números naturales y el número –4 no le pertenece, por lo tanto, el conjunto de solución viene dado por:
S = {4}
Pregunta 2 - Considere la ecuación polinomial x2 + 1 = 0 sabiendo que el conjunto de universos está dado por U = ℝ.
Resolución
Para el principio de equivalencia, reste 1 de ambos miembros.
X2 + 1 – 1= 0 – 1
X2 = – 1
Tenga en cuenta que la igualdad no tiene solución, ya que el conjunto de universos son los números reales, es decir, todos los valores que la incógnita puede asumir son reales, y no hay un número real que, cuando se eleva al cuadrado, sea negativo.
12 = 1
y
(–1)2 = 1
Por tanto, la ecuación no tiene solución en el conjunto de reales, por lo que podemos decir que el conjunto solución está vacío.
S = {}
por Robson Luiz
Profesor de matemáticas