Poliedros (del latín escuela politécnica - muchos - y edro - cara) son cifrastridimensional formado por la unión de polígonos regulares, en los que los ángulos poliédricos son todos congruentes. La unión de estos polígonos forma elementos que componen el poliedro, son: vértices, bordes y caras. Sin embargo, no todas las figuras tridimensionales son un poliedro, un ejemplo de esto son las figuras que tienen caras curvas llamadas cuerpos redondos.
Existe una fórmula matemática que relaciona los elementos de un poliedro llamado Relación de Euler. Además, los poliedros se dividen en dos grupos: los llamados poliedros convexo y los no convexo. Algunos poliedros merecen una atención especial, se llaman Poliedros de Platón: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro y icosaedro.
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poliedros convexos
Un poliedro será convexo cuando esté formado por polígonos convexo, para que se acepten las siguientes condiciones:
- dos de los polígonos Nunca son coplanares, es decir, no pertenecen al mismo plano.
- Cada lado de uno de estos polígonos pertenece a solo dos polígonos.
- El plano que contiene cualquiera de estos polígonos deja los otros polígonos en el mismo medio espacio.
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Elementos de un poliedro convexo
Considere este poliedro convexo:
Tú cuadriláteros en la figura se llaman caras del poliedro.
Tú pentágonos son las caras y la base del poliedro, que se llama poliedro base pentagonal.
Los segmentos que forman cada una de las caras se llaman bordes del poliedro.
Los puntos donde se encuentran los bordes se llaman vértices.
El segmento de línea JC se llamará diagonal del poliedro, denotado por:
JC es una de las diagonales, entendemos diagonal del poliedro como el segmento de línea que une dos vértices que no pertenecen a la misma cara.
También tenemos el ángulo poliédrico, formado entre los bordes, denotado por:
Un ángulo poliédrico se llama triédrico Cuándo Tres las aristas se originan en un vértice. Asimismo, se llama tetraédrico caso cuatro las aristas se originan en un vértice, y así sucesivamente.
A partir de ahora, estableceremos algunas notaciones, son:
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Propiedades de un poliedro convexo
Propiedad 1
La suma de las aristas de todas las caras es igual al doble del número de aristas del poliedro.
Ejemplo
Un poliedro tiene 6 caras cuadradas. Determinamos el número de aristas.
De acuerdo con la propiedad, simplemente multiplique el número de aristas de una cara por el número de caras, y esto es igual al doble del número de aristas. De esa forma:
Propiedad 2
La suma de los vértices de todas las caras es igual a la suma de las aristas de todas las caras, que es igual al doble del número de aristas.
Ejemplo
Un poliedro con 5 ángulos tetraédricos y 4 ángulos hexaédricos. Determinamos el número de aristas.
De manera análoga al ejemplo anterior, la segunda propiedad dice que la suma de las aristas de todas las caras es igual al doble del número de aristas. El número de aristas viene dado por el producto de 5 por 4 y 4 por 6, ya que son 5 ángulos tetraédricos y 4 hexaédricos. Así:
Poliedros cóncavos (no convexos)
Un poliedro no es convexo, o cóncavo, cuando tomamos dos puntos en caras distintas y la recta r que contiene estos puntos no está todo contenido en el poliedro.
Tenga en cuenta que la línea recta (en azul) no está completa en el poliedro, por lo que el poliedro (en rosa) es cóncavo o no convexo.
poliedros regulares
Decimos que un poliedro es regular cuando tus caras son polígonos regulares iguales entre sí y con ángulos poliédricos todos iguales.
Vea algunos ejemplos:
Observa que todas tus caras son polígonos regulares. Sus caras están formadas por cuadrados y las aristas son todas congruentes, es decir, tienen la misma medida.
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Relación de Euler
También conocido como Teorema de Euler, El resultado fue probado por Leonhard Euler (1707-1783) y garantiza que en todo poliedro convexo cerrado la siguiente relación es válida:
Poliedros de Platón
Cualquier poliedro que cumpla con las siguientes condiciones se denomina poliedro de Platón:
La relación de Euler es válida
Todas las caras tienen el mismo número de aristas.
Todos los ángulos poliédricos tienen el mismo número de aristas.
Está comprobado que solo existen cinco poliedros regulares y convexos, o poliedros de Platón, son:
tetraedro regular
el tetraedro tiene 4 caras triangulares congruente y 4 ángulos triédricos congruente.
hexaedro regular
el hexaedro tiene 6 caras cuadradas congruente y 8 ángulos triédricos congruente.
octaedro regular
el octaedro tiene 8 caras triangulares congruente y 6 ángulos tetraédricos congruente.
dodecaedro regular
el dodecaedro tiene 12 caras pentagonales congruente y 20 ángulostriédrico congruente.
icosaedro regular
El icosaedro tiene 20 caras triangulares congruente y 12 ángulos pentaédricos congruente.
ejercicios resueltos
1) (enemigo) Se cortó una joya en forma de poliedro convexo de 32 caras, 20 de las cuales son hexaedros y el resto son pentagonales. Esta joya será un regalo para una dama que está celebrando su cumpleaños, completando una edad cuyo número es el número de vértices de este poliedro. Esta dama está completando:
a) 90 años
b) 72 años
c) 60 años
d) 56 años
e) 52 años
Solución:
Da propiedad 1 de poliedros convexos sabemos que:
Ahora como sabemos el número de aristas es el número de caras, podemos usar la relación de Euler.
Como la edad que está completando es igual al número de vértices, entonces esto es 60 años. Alternativa c.
2) (PUC-SP) ¿Cuántas aristas tiene un poliedro convexo con caras triangulares donde el número de vértices es tres quintos del número de caras?
a) 60
b) 30
c) 25
d) 20
e) 15
Solución:
De las propiedades de un poliedro convexo y el enunciado del ejercicio tenemos:
Sustituyendo estos valores en la relación de Euler, tenemos lo siguiente:
Organizando la ecuación anterior y resolviendo la ecuación en F, se deduce que:
Sustituyendo el valor del número de caras encontradas en la ecuación de aristas, tendremos:
Alternativa b
por Robson Luiz
Profesor de matemáticas
