LA factorización de expresión algebraica consiste en escribir una expresión algebraica en forma de producto. En casos prácticos, es decir, en la solución de algunos problemas que involucran expresiones algebraicas, la factorización es extremadamente útil porque, en la mayoría de situaciones, simplifica la expresión trabajada.
Para realizar la factorización de expresiones algebraicas, usaremos un resultado muy importante en matemáticas llamado teorema fundamental de la aritmética, que establece que cualquier número entero mayor que 1 puede escribirse como el producto de números primos, vea:
121 = 11 · 11
60 = 5 · 4 · 3
Simplemente factorizamos los números 121 y 60.
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Métodos para factorizar expresiones algebraicas
Ahora veremos los principales métodos de factorización, los más utilizados haremos una breve justificación geométrica. Vea:
Factorización de pruebas
Considere el rectángulo:
Tenga en cuenta que el rectángulo el azul más el área del rectángulo verde da como resultado el rectángulo más grande. Veamos cada una de estas áreas:
LAAZUL = b · x
LAVERDE = b · y
LAMÁS GRANDE = b · (x + y)
Entonces, tenemos que:
LAMÁS GRANDE = AAZUL + AVERDE
b (x + y) = bx + por
Ejemplos de
La) Factorizar la expresión: 12x + 24y.
Tenga en cuenta que 12 es el factor en evidencia, ya que aparece en ambas parcelas, por lo que para determinar los números que van entre paréntesis, es suficiente Cuota cada parcela por el factor en evidencia.
12 veces: 12 = X
24 años: 12 = 2 años
12x + 24y = 12 · (X + 2 años)
B) Factorizar la expresión 21ab2 - 70º2B.
De la misma forma, inicialmente, se determina el factor en evidencia, es decir, el factor que se repite en las parcelas. Mira que de la parte numérica tenemos el 7 como factor común, ya que es el que divide ambos números. Ahora, con respecto a la parte literal, observe que solo se repite el factor ab, por lo tanto, el factor en evidencia es: 7ab.
21ab2 - 70º2b = 7ab (3b - 10La)
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Factorizar por agrupación
La factorización por agrupación es que surgen de factoring por evidencia, la única diferencia es que, en lugar de tener un monomio como factor común o un factor en evidencia, tendremos un polinomio, mira el ejemplo:
Considere la expresión (a + b) · xy + (a + b) · wz2
Tenga en cuenta que el factor común es el binomio (a + b),por lo tanto, la forma factorizada de la expresión anterior es:
(a + b) · (Xy + wz2)
diferencia entre dos cuadrados
Considere dos números ayb, cuando tenemos un diferencia del cuadrado de estos números, es decir, el2 - B2, para que podamos escribirlos como producto de suma por diferencia, o sea:
La2 - B2 = (a + b) · (a - b)
Ejemplos de
La) Factorizar la expresión x2 - y2.
Podemos usar la diferencia entre dos cuadrados, entonces:
X2 - y2 = (x + y) · (x - y)
B) Factorizar 20202 – 2.0192.
Podemos usar la diferencia entre dos cuadrados, entonces:
2.0202 – 2.0192 = (2.020 + 2.019) · (2.020 – 2.019)
2.0202 – 2.0192 = 4.039 · 1
2.0202 – 2.0192 = 4.039
Trinomio del cuadrado perfecto
Tome el siguiente cuadrado del lado (a + b) y observe las áreas de los cuadrados y rectángulos que se forman en su interior.
Ver el área de cuadrado mayor viene dado por (a + b)2, pero, por otro lado, el área del cuadrado más grande se puede obtener sumando los cuadrados y rectángulos en su interior, así:
(a + b)2 = el2+ ab + ab + b2
(a + b)2 = el2+ 2b + b2
(a + b)2 = el2 + 2ab + b2
Del mismo modo, tenemos que:
(a - b)2 = el2 - 2ab + b2
Ejemplo
Considere la expresión x2 + 12x + 36.
Para factorizar una expresión de este tipo, simplemente identifique el coeficiente de la variable x y el coeficiente independiente, y compárelo con la fórmula dada, consulte:
X2 + 12x + 36
La2 + 2ab + b2
Haciendo las comparaciones, vea que x = a, 2b = 12 y b2 = 36; de las igualdades, tenemos que b = 6, por lo que la expresión factorizada es:
X2 + 12x + 36 = (x + 6)2
Trinomio de secundaria
Considere el trinomio del hacha2 + bx + c. Su forma factorizada se puede encontrar usando tus raíces, es decir, los valores de x que ponen a cero esa expresión. Para determinar los valores que hacen que esta expresión sea cero, simplemente resuelva la ecuación ax2 + bx + c = 0 usando cualquier método que sea conveniente. Aquí destacamos el método más conocido: Método Bhaskara.
La forma factorizada del trinomio del hacha2 + bx + c es:
hacha2 + bx + c = a · (x - x1) · (X - x2)
Ejemplo
Considere la expresión x2 + x - 20.
El primer paso es determinar las raíces de la ecuación x.2 + x - 20 = 0.
Entonces, la forma factorizada de la expresión x2 + x - 20 es:
(x - 4) · (x + 5)
Cubo de la diferencia entre dos números
El cubo de la diferencia entre dos números ayb viene dado por:
(a - b)3 = (a - b) · (a - b)2
(a - b)3 = (a - b) · (a2 - 2ab + b2)
Cubo de la suma de dos números
Del mismo modo, tenemos que (a + b)3 = (a + b) · (a + b)2 , pronto:
(a + b)3 = (a + b) · (a2 + 2ab + b2)
ejercicios resueltos
Pregunta 1 - (Cefet-MG) Donde el número n = 6842 – 6832, la suma de los dígitos de n es:
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
Resolución
Alternativa d. Para determinar la suma de los dígitos de n, primero factorizamos la expresión, ya que calcular los cuadrados y luego restar es un trabajo innecesario. Factorizando la expresión usando la diferencia entre dos cuadrados, tenemos:
n = 6842 – 6832
n = (684 + 683) · (684 - 683)
n = 1.367 · 1
n = 1367
Por lo tanto, la suma de los dígitos de n viene dada por 1 + 3 + 6 + 7 = 17
Pregunta 2 - (Modified Insper-SP) Determine el valor de la expresión:
Resolución
Para facilitar la notación, nombremos a = 2009 y b = 2. recuerda que 22 = 4, entonces tenemos que:
Observe que, en el numerador de la fracción, tenemos la diferencia entre dos cuadrados, por lo que podemos escribir la2 - B2 = (a + b) (a - b). Pronto:
a - b = 2009 - 2 = 2007.
por Robson Luiz
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatoracao-expressao-algebrica.htm
