LA análisis combinatorio es un campo de estudio en matemáticas asociado con las reglas de conteo. A principios del siglo XVIII, el estudio de los juegos de dados y cartas hizo que las teorías de conteo tuvieran un gran desarrollo.
El trabajo de la combinatoria permite la realización de recuentos cada vez más precisos.El principio fundamental de contar (PFC), el factorial y los tipos de agrupamiento son ejemplos de conceptos estudiados en el análisis combinatorio, que además de proporcionar más grande la precisión ayuda Noel desarrollo de otras áreas de las matemáticas, como La probabilidad y O Binomio de Newton.
Leer tambien: arreglo o C¿combinación?
¿Para qué sirve el análisis combinatorio?
El análisis combinatorio está asociado al proceso de conteo, es decir, el estudio de esta área de las matemáticas nos permite desarrollar herramientas que nos ayuden a realizar cuenta más eficientemente. Veamos un problema de conteo típico, vea:
Ejemplo 1
Considere tres ciudades A, B y C conectadas por las carreteras R
1, R2, R3, R4 y R5. Determina de cuántas maneras podemos llegar de la ciudad A a la ciudad C a través de la ciudad B.
Tenga en cuenta que tenemos que salir de la ciudad A e ir a la ciudad B, y solo entonces podemos viajar a la ciudad C, así que analicemos todos los posibilidades para realizar el evento siguiendo las carreteras.
1er camino: R1 → R3
2do camino: R1 → R4
3er camino: R1 → R5
4ta vía: R2 → R3
5ta vía: R2 → R4
Sexto camino: R2 → R5
Así que tenemos seis formas diferentes de llegar de la ciudad A a la ciudad C a través de la ciudad B. Sin embargo, tenga en cuenta que el problema propuesto es relativamente simple y que el análisis realizado fue poco laborioso. Entonces, a partir de ahora, vamos a estudiar herramientas más sofisticadas que permitan resolver problemas con mucho menos trabajo.
Principio fundamental de contar (PFC)
Considere un evento E que se puede realizar en n pasos independientes y consecutivos. Ahora, considere que el número de posibilidades para realizar el primer paso es igual a P1, también imagina que el número de posibilidades para realizar la segunda etapa es P2, y así sucesivamente, hasta llegar a la última etapa, que tiene PNo posibilidades a realizar.
El Principio Fundamental de Conteo (PFC) establece que el posibilidades totales de realizar el evento E viene dado por:
PAG1 ·PAG2 · … · PAGNo
Así, el total viene dado por el producto de las posibilidades de cada uno de los pasos que constituyen el evento E. Tenga en cuenta que, para determinar las posibilidades totales de realizar el evento E, es necesario conocer las posibilidades totales para cada una de las etapas.
Ejemplo 2
Rehagamos el ejemplo 1 usando el principio fundamental de contar.
Considere la imagen del ejemplo 1.
Tenga en cuenta que el evento se puede realizar en dos etapas, la primera va de la ciudad A a la ciudad B y la segunda va de la ciudad B a la ciudad C. Para realizar el primer paso, tenemos dos posibilidades (carreteras R1 y R2), y para realizar la segunda etapa tenemos tres posibilidades (R3, R4 y R5).
1er paso → dos posibilidades
2da etapa → tres posibilidades
Por el principio fundamental de contar, debemos multiplicar las posibilidades totales de cada paso.
2 · 3
6
Por tanto, para ir de la ciudad A a la ciudad C pasando por la ciudad B, tenemos un total de seis posibilidades.
Ejemplo 3
¿De cuántas formas se pueden distribuir las tres medallas olímpicas en una competición de bicicleta de montaña con cinco competidores?
La organización de la distribución de medallas es un evento que se puede realizar en tres etapas. El primer paso es analizar las posibilidades totales de quién obtendrá la medalla de oro, es decir, cinco posibilidades.
El segundo paso es analizar las posibilidades de quién obtendrá la medalla de plata, es decir, cuatro ya que el primer lugar no entra en esta elección. El tercer paso es analizar las posibilidades totales de quién obtendrá la medalla de bronce, es decir, Tres, ya que los dos primeros ya han sido elegidos.
1er paso → cinco posibilidades
2da etapa → cuatro posibilidades
3a etapa → tres posibilidades
Entonces, por el principio fundamental de contar, tenemos:
5 · 4 · 3
60 posibilidades
Vea también: Principio de conteo aditivo: unión de uno o más conjuntos
Factorial
O factorial es una forma de descomponer un número natural. Para calcular el factorial de un número, simplemente multiplíquelo por todos sus predecesores hasta el número 1. El factorial está representado por el signo de exclamación - “!”.
Vea algunos ejemplos de cómo calcular el factorial de algunos números.
La) 2! (lee: dos factorial)
Para el cálculo basta con multiplicar el número que acompaña al factorial por todos sus predecesores hasta el número 1, así:
2! = 2 ·1 = 2
B) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24
C) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
D) 1! = 1
Formalmente podemos escribir el factorial de la siguiente manera:
Considere un número natural n> 2. ¡El factorial de n está indicado por n! y se obtiene multiplicando n por todos sus predecesores enteros positivos.
¡No! = n (n - 1) · (n - 2) · (n - 3) ·… · 1
Tenga en cuenta los siguientes factoriales:
4! y 5!
Ahora realiza el desarrollo de ambos:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 ·1
Tenga en cuenta que en el desarrollo de 5! Aparece el desarrollo de 4!. ¡Entonces podemos escribir el 5! de esta forma:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
5! = 5 · 4!
Ejemplo 4
Calcular el seg factorialaullido:
¡Mira que el 15! se desarrolló hasta el 13!. También tenga en cuenta que, en el numerador de la fracción, los elementos se están multiplicando, por lo que podemos "cortar" el 13!, dando como resultado solo 15 · 14.
Observación:0! = 1
Tipos de agrupación
Algunos problemas de conteo son más complejos y se resuelven más fácilmente con nuevas herramientas. Estas herramientas se denominan agrupación porque agrupan elementos de diferentes formas, lo que facilita el proceso de conteo. Estas agrupaciones son: disposición simple, permutación y combinación simple.
arreglo simple
Considere un conjunto con n elementos distintos. vamos a llamarlo arreglo de n los elementos tomados de p ap, cualquier secuencia ordenada por p, y los distintos elementos elegidos entre los elementos.
Así, el número de subconjuntos formados por p elementos será la disposición de n elementos tomados de p ap. La fórmula que nos permite calcular el número de arreglos viene dada por:
Ejemplo 5
Calcule el valor de A4,2 + A5,2.
Para calcular el valor de la expresión, determinemos cada una de las matrices y luego sumemos esos valores. Para determinar el valor de cada matriz, debemos sustituir los valores en la fórmula.
Tenga en cuenta que n = 4 yp = 2, ambos han sido sustituidos en la fórmula. Ahora, debemos calcular el valor de la matriz de cinco elementos tomados de dos en dos.
Entonces, tenemos que:
LA4,2 + A5,2
12 + 20
32
Ejemplo 6
¿Cuántos números naturales distintos de cuatro dígitos se pueden formar usando los números 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9?
En este problema podemos usar la disposición simple, ya que 2435 ≠ 4235. Veremos que, en algunos casos, el orden de los elementos no los diferencia, por lo que no podemos utilizar la disposición.
Como queremos determinar el total de números que se pueden formar, observe que el total de elementos es igual a ocho, y queremos agruparlos de cuatro en cuatro, así que:
permutación simple
Considere un conjunto con n elementos. vamos a llamarlo permutación simple de n elementos cada arreglo de n elementos tomados n an. Entonces tenemos que:
Para que no haya confusión entre los conceptos, denotemos la permutación simple de n elementos por PNo. Entonces tenemos que:
PAGNo = n!
Ejemplo 7
Calcular P7 y P3.
Para calcular estas permutaciones, debemos sustituir los valores en la fórmula. Vea:
PAG7 = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1
PAG7 = 5040
PAG3 = 3 · 2 · 1
PAG3 = 6
Ejemplo 8
Determina cuántos anagramas puede haber en la palabra Brasil.
Entendemos por anagrama todas las posibles transposiciones de las letras de la palabra, por ejemplo, "Lisarb" es un anagrama de la palabra Brasil. Para determinar el número de anagramas, debemos calcular la permutación de las letras de la palabra, por lo que tenemos que:
PAG6 = 6!
PAG6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
PAG6 = 720
Por tanto, la palabra Brasil tiene 720 anagramas.
También acceda a: Permutación con elementos repetidos
combinación simple
Considere un conjunto A con n elementos distintos. vamos a llamarlo combinación de los n elementos tomados p ap cualquier subconjunto de A formado por p elementos. La fórmula para calcular la combinación viene dada por:
Ejemplo 9
Calcula la combinación de 10 elementos tomados de cuatro a cuatro.
Ejemplo 10
Cuantos cuadriláteros distintos podemos formar con vértices en los puntos A, B, C, D, E y F?
Tenga en cuenta que el cuadrilátero ABCD es el mismo que el cuadrilátero CDBA en este contexto, por lo que deberíamos usar la combinación y no las matrices. Tenemos un total de seis puntos y queremos combinarlos cuatro por cuatro, así:
Por lo tanto, podemos formar 15 cuadriláteros distintos.
Análisis combinatorio y probabilidad
El estudio de La probabilidad está estrechamente relacionada con el estudio del análisis combinatorio.. En algunos problemas de probabilidad, es necesario determinar el espacio muestral, que consiste en un conjunto formado por todos los posibles resultados de un evento dado.
En algunos casos, el espacio muestral E se escribe de manera muy directa, como en el lanzamiento de una moneda, donde los posibles resultados son cara o cruz y se denotan de la siguiente manera:
E = {cara, cruz}
Ahora imagine la siguiente situación: se lanza un dado tres veces consecutivas y estamos interesados en determinar el espacio muestral para este experimento. Tenga en cuenta que anotar todas las posibilidades ya no es una tarea sencilla, necesitamos utilizar el principio fundamental de contar (PFC). El evento se puede realizar en tres etapas, en cada una de ellas tenemos seis posibilidades, ya que un dado tiene seis caras, así:
1a etapa → seis posibilidades
2da etapa → seis posibilidades
3ra etapa → seis posibilidades
Por el PFC, tenemos que el total de posibilidades es:
6 · 6 · 6
216
Entonces podemos decir que el espacio muestral de este evento es 216.
Vea que para el estudio de probabilidad es Se requiere un conocimiento básico de análisis combinatorio., porque, sin determinar el espacio muestral de un experimento, es imposible resolver la gran mayoría de los ejercicios de probabilidad. Para más detalles sobre este campo de las matemáticas, lea el texto:Probabilidad.
ejercicios resueltos
Pregunta 1 - Determinar el número de anagramas de la palabra castillo. Luego, determina la cantidad de anagramas que comienzan con la letra c.
Resolución
Para determinar el número de anagramas, debemos calcular la permutación del número de letras, así:
PAG7 = 7!
PAG7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
PAG7 = 5040
La palabra tiene 5040 anagramas. Ahora, para determinar el número de anagramas que comienzan con la letra c, debemos arreglar la letra y calcular el anagrama de los demás, ver:
C__ __ __ __ __ __
Cuando arreglemos la letra c, tenga en cuenta que quedan seis campos para calcular la permutación, así:
PAG6 = 6!
PAG6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
PAG6 = 720
Entonces tenemos 720 anagramas de la palabra castillo que comienzan con la letra c.
Pregunta 2 - En un aula, hay cinco hombres y siete mujeres. ¿Cuántos grupos de tres hombres y cuatro mujeres se pueden formar?
Resolución
Primero, ver que no importa el orden en el que elijamos a las personas, por ejemplo el grupo formado por João, Marcos y José es el mismo grupo formado por Marcos, João y José, por lo tanto, debemos usar la combinación para el cálculo.
Calculemos por separado el número de grupos que pueden estar formados por hombres y mujeres, y en Entonces multipliquemos esos resultados, porque cada grupo de hombres puede mezclarse con cada grupo de hombres. mujeres.
Hombres
Total → 5
Cantidad en grupo → 3
Mujeres
Total → 7
Cantidad en grupo → 4
Por tanto, el número total de grupos que pueden estar formados por tres hombres y cuatro mujeres es:
C5,3 · C7,4
10 · 35
350
por Robson Luiz
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/analise-combinatoria.htm