la comprensión de conjuntos es la base principal para el estudio de álgebra y conceptos de gran importancia en Matemáticas, como funciones y desigualdades. La notación que usamos para los conjuntos es siempre una letra mayúscula de nuestro alfabeto (por ejemplo, conjunto A o conjunto B).
En términos de representación de conjuntos, puede ser hecho por diagrama de Venn, simplemente describiendo las características de sus elementos, enumerando los elementos o describiendo sus propiedades. Cuando se trabaja con problemas que involucran conjuntos, hay situaciones que requieren la realización de operaciones entre conjuntos, siendo la unión, la intersección y la diferencia. ¿Vamos a estudiar todo esto en detalle?
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Notación y representación de conjuntos
Para la representación de un conjunto, siempre usamos un letra mayúscula del alfabeto, y los elementos siempre están entre llaves y están separados por una coma. Para representar el conjunto de números pares mayores que 1 y menores que 20, por ejemplo, usamos la siguiente notación: P = {2,4,6,8,10,12,14,16,18}.
Formas de representación de conjuntos
representación por enumeración: podemos enumerar sus elementos, es decir, hacer una lista, siempre entre llaves. Vea un ejemplo:
A = {1,5,9,12,14,20}
describiendo las características: simplemente podemos describir la característica del conjunto. Por ejemplo, sea X un conjunto, tenemos que X = {x es un número positivo múltiplo de 5}; Y: es el conjunto de meses del año.
Diagrama de Venn: Los conjuntos también se pueden representar en forma de diagrama, conocido como diagrama de Venn, que es una representación más eficiente para realizar operaciones.
Ejemplo:
Dado el conjunto A = {1,2,3,4,5}, podemos representarlo en el siguiente diagrama de Venn:
Elementos de una relación de conjunto y membresía
Dado cualquier elemento, podemos decir que el elemento pertenece al set o no pertenecer a ese conjunto. Para representar esta relación de membresía más rápidamente, usamos los símbolos
(se lee como perteneciente) y ∉ (se lee como no perteneciente). Por ejemplo, sea P el conjunto de números de pares, podemos decir que el 7 ∉ P y que el 12 pag.
Igualdad de conjuntos
La comparación entre conjuntos es inevitable, por lo que podemos decir que dos conjuntos son iguales o no, comprobando cada uno de sus elementos. Sea A = {0,1,3,4,8} y B = {8,4,3,1,0}, incluso si los elementos están en diferente orden, podemos decir que los conjuntos A y B son iguales: A = B.
Relación de inclusión
Al comparar dos conjuntos, podemos encontrar varias relaciones, y una de ellas es la relación de inclusión. Para esta relación, necesitamos conocer algunos símbolos:
⊃ → contiene ⊂→ Está contenido
⊅ → no contiene ⊄→no está contenido
Sugerencia: El lado de apertura del símbolo siempre estará orientado hacia el conjunto más grande. |
Cuando todos los elementos de un conjunto A también pertenecen a un conjunto B, decimos que A ⊂ B o que A está contenido en B. Por ejemplo, A = {1,2,3} y B = {1,2,3,4,5,6}. También es posible realizar la representación mediante diagrama de Venn, que se vería así:
A está contenido en B:
A ⊂ B
Subconjuntos
Cuando una relación de inclusión, es decir, el conjunto A está contenido en el conjunto B, podemos decir que A es un subconjunto de B. El subconjunto sigue siendo un conjunto, y un el conjunto puede tener varios subconjuntos, construido a partir de los elementos que le pertenecen.
Por ejemplo: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} tiene como subconjuntos los conjuntos B: {1,2,3}; C: {1,3,5,7}; D: {1} e incluso el conjunto A {1,2,3,4,5,6,7,8}, es decir, A es un subconjunto de sí mismo.
conjunto unitario
Como ya sugiere el nombre, es ese conjunto el que tiene un solo elemento, como el conjunto D: {1} mostrado anteriormente. Dado el conjunto B: {1,2,3}, tenemos los subconjuntos {1}, {2} y {3}, que son todos conjuntos de unidades.
ATENCIÓN: El conjunto E: {0} también es un conjunto unitario, ya que tiene un solo elemento, "0", y no es un conjunto vacío.
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conjunto vacio
Con un nombre aún más sugerente, el conjunto vacío no tiene elementos y es un subconjunto de cualquier conjunto. Para representar el conjunto vacío, hay dos posibles representaciones, son V: {} o el símbolo Ø.
Conjuntos de piezas
Conocemos como conjuntos de partes todos los posibles subconjuntos de un conjunto dado. Sea A: {1,2,3,4}, podemos listar todos los subconjuntos de este conjunto A comenzando con los conjuntos que no tienen elementos (vacíos) y luego los que tienen uno, dos, tres y cuatro elementos, respectivamente.
conjunto vacio: { };
Conjuntos de unidades: {1}; {2};{3}; {4}.
Conjuntos con dos elementos: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
conjuntos con tres elementos: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.
Conjunto con cuatro elementos: {1,2,3,4}.
Por lo tanto, podemos describir el conjunto de partes de A de esta manera:
P: {{}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4 }, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}}
Para saber cuántas partes es posible dividir un conjunto, usamos la fórmula:
n [P (A)] = 2No
El número de partes de A se calcula mediante un Potencia base 2 elevada a No, en que No es el número de elementos del conjunto.
Considere el conjunto A: {1,2,3,4}, que tiene cuatro elementos. El total de posibles subconjuntos de este conjunto es 24 =16.
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Conjunto finito e infinito
Cuando trabajamos con conjuntos, encontramos conjuntos que son limitado (finito) y los que son ilimitado (infinito). El conjunto de números pares o impares, por ejemplo, es infinito y, para representarlo, describimos algunos de sus elementos en secuencia, para que sea posible predecir cuáles serán los siguientes elementos, y colocamos elipses en el Final.
YO: {1,3,5,7,9,11 ...}
P: {2,4,6,8,10, ...}
En un conjunto finito, sin embargo, no colocamos las elipses al final, ya que tiene un principio y un final definidos.
A: {1,2,3,4}.
conjunto de universo
O conjunto de universo, denotado por U, se define como el conjunto formado por todos los elementos que deben considerarse dentro de un problema. Cada elemento pertenece al conjunto de universos y cada conjunto está contenido en el conjunto de universos.
Operaciones con conjuntos
Las operaciones con conjuntos son: unión, intersección y diferencia.
Intersección de conjuntos
Una intersección ocurre cuando los elementos pertenecen simultáneamente a uno o más conjuntos. Al escribir A∩B, buscamos elementos que pertenezcan tanto al conjunto A como al conjunto B.
Ejemplo:
Considere A = {1,2,3,4,5,6} y B = {2,4,6,7,8}, los elementos que pertenecen tanto al conjunto A como al conjunto B son: A∩B = {2, 4,6}. La representación de esta operación se realiza de la siguiente manera:
A∩B
Cuando los conjuntos no tienen ningún elemento en común, se conocen como conjuntos disjuntos.
A∩B = Ø
diferencia entre conjuntos
calcula el diferencia entre dos conjuntos es buscar elementos que pertenezcan solo a uno de los dos conjuntos. Por ejemplo, A - B tiene como respuesta un conjunto compuesto por elementos que pertenecen al conjunto A y no pertenecen al conjunto B.
Ejemplo: A: {1,2,3,4,5,6} y B: {2,4,6,7,8}. Tenga en cuenta que A ∩ B = {2,4,6}, por lo que tenemos que:
a) A - B = {1,3,5}
b) B - A = {7,8}
Unidad
La unión de dos o más conjuntos es la unirse a sus términos. Si hay elementos que se repiten en ambos conjuntos, se escriben solo una vez. Por ejemplo: A = {1,2,3,4,5} y B = {4,5,6,7,10,14}. Para representar la unión, usamos el símbolo (dice: Una unión con B).
A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}
Para obtener más información sobre estas operaciones y consultar varios ejercicios resueltos, lea: Operaciones con conjuntos.
Leyes de Morgan
Sean A y B dos conjuntos y sea U el conjunto del universo, hay dos propiedades dadas por las leyes de Morgan, a saber:
(A U B)C = AC ∩BC
(A ∩ B)C = AC U BC
Ejemplo:
Dados los conjuntos:
U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
A: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
B: {5.10,15,20}
Comprobemos eso (A U B)C = AC ∩BC. Entonces, tenemos que:
A U B = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}
Por tanto, (A U B)C={1,3,7,9,11,13,17,19}
Para comprobar la veracidad de la igualdad, analicemos la operación AC ∩BC:
LAC:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
BC:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}
Luego, LAC ∩BC ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.
(A U B)C = AC ∩BC
ejercicios resueltos
01) Considere U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A: {1,2,3,4,5,6} y B: {4,5,6, 7,8,9}. Demuestre que (A ∩ B)C = AC U BC.
Resolución:
1er paso: encuentra (A ∩ B)C. Para eso, tenemos que A ∩ B = {4,5,6}, entonces (A ∩ B)C ={1,2,3,7,8,9,10}.
2do paso: encontrar unC U BC. LAC: {7,8,9,10} y BC: {1,2,3,10}, entonces AC U BC = {1,2,3,7,8,9,19}.
Se muestra que (A ∩ B)C = AC U BC.
02) Sabiendo que A es el conjunto de números pares del 1 al 20, ¿cuál es el número total de subconjuntos que podemos construir a partir de los elementos de ese conjunto?
Resolución:
Sea P el conjunto descrito, tenemos que P: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}. Por tanto, el número de elementos de P es 10.
Según la teoría de conjuntos de partes, el número de posibles subconjuntos de P es:
210=1024
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas
