Permutación es uno de los temas tratados en la disciplina de análisis combinatorio en matemáticas. Teniendo en la mano cualquier secuencia ordenada con un número "n" de elementos distintos, cualquier otra secuencia formada por los mismos "n" elementos reordenados se denomina permutación.
Por lo tanto, podemos decir que si A es una permutación de B, entonces A y B están formados por los mismos elementos, pero ordenados de manera diferente.
¿De dónde vienen las permutaciones?
Las permutaciones son casos aislados de Arreglos simples. Se trata de agrupaciones ordenadas de un conjunto A de elementos, de modo que los grupos tienen un número de elementos menor o igual que el conjunto A.
El conjunto A = {X, Y, Z}, {X, Y} y {Y, X} es un arreglo simple de los elementos de A tomados 2 a 2. El número de elementos de A está representado por la letra "n". O número de serie, o numero de clase, es "k". Este número es el número de elementos en cada arreglo simple (en el caso del ejemplo, este número es 2).
La lista con todos los arreglos simples de los tres elementos de A tomados de 3 a 3 es la siguiente:
XYZ, XZY, ZXY, ZYX, YZX y YXZ
Esta lista es solo el caso particular de los arreglos que reciben el nombre de permutación.
Cálculo de arreglos simples
El número de matrices simples de un conjunto A, que tiene No elementos tomados k La Oh, se puede calcular mediante la siguiente fórmula:
LAno ok = ¡No!
(n - k)!
Definición de permutación
Sea A un conjunto con No elementos distintos. Tú arreglos simples de estos elementos tomados de n an se llaman permutaciones simples de A. Por tanto, para que sea una permutación, es necesario que el número de orden k ser igual al número No de elementos de A. El siguiente cálculo resulta de esto:
Tomando la fórmula utilizada para matrices simples y el número de orden k = n, tendremos:
Esta es la fórmula utilizada para calcular el número de permutaciones de los elementos del conjunto A, generalmente denotado por PNo. Pronto:
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PAGNo = Ano no = n!
PAGNo = n!
Ejemplo
Calcula el número de permutaciones de las letras de la palabra AMOR.
Solución:
Tenga en cuenta que la palabra AMOR tiene 4 elementos distintos. Para calcular el número de permutaciones de esta palabra, usaremos la fórmula anterior:
PAGNo = n!
PAG4 = 4!
PAG4 = 4·3·2·1
PAG4 = 24
Por lo tanto, es posible formar 24 permutaciones diferentes de las letras de la palabra AMOR. Las permutaciones de palabras también se denominan anagramas.
Permutaciones con elementos repetidos
Cualquier conjunto puede tener elementos repetidos. A permutaciones ese conjunto debe considerar la repetición de estos elementos, porque el orden en el que aparecen no importa, a diferencia del orden de los demás elementos del conjunto. Si cambiamos solo las dos "A" de lugar en la palabra AMAR, obtendremos la misma palabra. Igual que las palabras no son permutaciones, por lo tanto, esta repetición debe restarse en la fórmula de las permutaciones.
Restar todas las posibles repeticiones de elementos en una permutación con elementos repetidos, debemos hacer lo siguiente:
Sea A un conjunto con No elementos, de los cuales k los elementos se repiten. La fórmula para calcular las permutaciones de A es:
PAGNok = ¡No!
k!
Si se establece A, con No elementos, poseer k repeticiones de un elemento y j repeticiones de otro, el cálculo ocurrirá de la siguiente manera:
PAGNoja ja = ¡No!
k! · j!
Si un conjunto A, con No elementos, tiene k repeticiones de un elemento, j repeticiones de otro,…, metro repeticiones de otro, la fórmula toma la siguiente forma:
PAGNok, j,..., m = ¡No!
k! · j! ·... ·¡metro!
Ejemplo
Calcula el número de anagramas de la palabra ANTONIA.
Solución:
Para resolver el ejemplo, simplemente calcule el permutaciones con elementos repetidos de la palabra ANTONIA. Tanto la letra A como la letra N se repiten 2 veces. Mirar:
PAG72,2 = 7!
2!·2!
PAG72,2 = 7·6·5·4·3·2·1
2·1·2·1
PAG72,2 = 5040
4
PAG72,2 = 1260
Por Luiz Paulo Moreira
Licenciada en Matemáticas
