A diferencia de las figuras geométricas formadas por él, el Puntaje no tiene definición. Esto significa que, en Geometría, un punto es un objeto indefinido que se utiliza para definir otros objetos. Las líneas, por ejemplo, son conjuntos de puntos. Aunque parecen bien definidas, las líneas tampoco tienen definición, ya que cualquier conjunto que contenga dos o más puntos se considera recto.
Por otro lado, en Geometría analítica, el punto se toma como ubicación. Cualquier ubicación se puede representar mediante un punto y, además, la “dirección” de ese punto se da mediante coordenadas.
Sin embargo, en geometría analítica, los puntos solo pueden indicar ubicaciones. Se necesitan otros objetos para indicar trayectoria, dirección, dirección e intensidad. En el caso de estos tres últimos, el objeto elegido para representarlos en el plano cartesiano es el vector.
→ ¿Qué es un vector?
Vectores, por tanto, son objetos que indican dirección, sentido e intensidad. Suelen estar representados por flechas, que parten del origen, y se utilizan las coordenadas de su último punto.
En la imagen de arriba, los vectores están representados de esta manera, es decir, flechas cuyas coordenadas corresponden a su punto final. El vector u tiene coordenadas (2,2) y el vector v tiene coordenadas (4,2). Además, la flecha se usa para indicar dirección y dirección, y su tamaño indica intensidad.
→ Multiplicación de vectores por un número
Dado el vector v = (a, b), el producto del número real k por v viene dado por la expresión:
k · v = k · (a, b) = (k · a, k · b)
En otras palabras, para multiplicar un número real por un vector, debes multiplicar el número real por cada una de sus coordenadas.
Geométricamente, multiplicar un vector por un número real aumenta el tamaño del vector linealmente:
Observe que, en el ejemplo anterior, el vector u tiene coordenadas (2.2) y el vector u · k tiene coordenadas (4.4). Resolviendo la ecuación (4.4) = k (2.2), podemos concluir que k = 2.
→ Suma de vectores
Dados dos vectores u = (a, b) y v = (c, d), la suma entre ellos se obtendrá mediante la expresión:
u + v = (a + c, b + d)
En otras palabras, simplemente sume las coordenadas correspondientes de cada vector. Esta operación se puede expandir a la suma de 3 o más vectores con 3 o más dimensiones.
Geométricamente, a partir del punto final del vector u, se dibuja un vector v 'paralelo al vector v. A partir del vector v, se dibuja un vector u 'paralelo al vector u. Estos cuatro vectores forman un paralelogramo. El vector u + v es la siguiente diagonal de este paralelogramo:
Para restar vectores, considere la resta como la suma de un vector y el opuesto de otro. Por ejemplo, para restar el vector v del vector u, escriba: u - v = u + (-v). El vector -v es el vector v, pero con los signos de coordenadas invertidos.
Mirando de cerca, las operaciones "multiplicar un vector por un número" y "sumar vectores" hacer uso de operaciones de multiplicación y suma en números reales, pero en cada componente de la vector. Por tanto, para los vectores, todas las propiedades de la suma y la multiplicación de números reales son válidas, a saber:
Dados los vectores u, v y w y los números reales k y l,
i) (u + v) + w = u + (v + w)
ii) u + v = v + u
iii) hay un vector 0 = (0.0) tal que v + 0 = v
iv) Existe un vector -v tal que v + (-v) = 0
v) k (u + v) = ku + kv
vi) (k + l) v = kv + lv
vii) kl (v) = k (lv)
viii) 1v = v
→ Estándar de un vector
La norma de un vector es el equivalente a la magnitud de un número real, es decir, la distancia entre un vector y el punto (0,0) o, según el marco de referencia, la longitud del vector.
La norma del vector v = (a, b) se denota por || v || y se puede calcular usando la expresión:
|| v || = √ (a2 + b2)
→ Producto interno
El producto interno es comparable al producto entre vectores. Tenga en cuenta que el producto mencionado anteriormente es el producto entre un vector y un número real. Ahora, el "producto" en cuestión está entre dos vectores. Sin embargo, no se debe decir "producto entre dos vectores", sino "producto interno entre dos vectores". El producto interno entre los vectores v = (a, b) yu = (c, d) se denota por
También es habitual utilizar la siguiente notación:
Tenga en cuenta que usando la norma del vector v = (a, b), podemos relacionar la norma y el producto escalar.
|| v || = √ (a2 + b2) = √ (a · a + b · b) = √ (
Por Luiz Paulo Moreira
Licenciada en Matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-vetores-representacoes-geometricas.htm