LA función inversa, como sugiere el nombre, es el función f (x)-1, que hace exactamente lo contrario de la función f (x). Para que una función admita una inversa, debe ser biyector, es decir, inyector y sobreyector al mismo tiempo. La ley de formación de una función inversa hace lo contrario de lo que hace la función f (x).
Por ejemplo, si la función toma un valor de dominio y suma 2, la función inversa, en lugar de sumar, resta 2. encuentra el ley de formación de función inversa no siempre es una tarea fácil, ya que es necesario invertir las incógnitas xey, así como aislar y en la nueva ecuación.
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¿Cuándo admite una función inversa?
Un rol es invertible, es decir, tiene una función inversa, si, y solo si, es biyector. Es importante recordar qué función biyector, que es una función inyector, es decir, cada elemento de la imagen tiene un único dominio correspondiente. Esto significa que los diferentes elementos del conjunto A deben asociarse con diferentes elementos del conjunto B, es decir, no puede haber dos o más elementos del conjunto A que tengan el mismo correspondiente en el conjunto B.
Un rol es sobreyectiva si la imagen es igual al contradominio, es decir, no hay ningún elemento en el conjunto B que no tenga un elemento en el conjunto A asociado.
Sea la función f: A → B, donde A es dominio y B es contradominio, la función inversa de f será la función descrita por f-1 : B → A, es decir, el dominio y el contradominio están invertidos.
Ejemplo:
La función f: A → B es biyectiva, ya que es inyectiva (después de todo, elementos distintos en A están asociados con elementos distintos en B) y también es sobreyectiva, ya que no queda ningún elemento en el conjunto B, es decir, el contradominio es el mismo que colocar Imagen.
Por tanto, esta función es invertible y su inversa es:
¿Cómo se determina la ley de formación de la función inversa?
Para encontrar la ley de formación de la función inversa, necesitamos revertir las incógnitas, es decir, reemplazar x por y e y por x, y luego aislar la y desconocida. Para ello, es importante que la función sea invertible, es decir, biyector.
→ Ejemplo 1
Encuentre la ley de formación de la función inversa de f (x) = x + 5.
Resolución:
Sabemos que f (x) = y, entonces y = x + 5. Realizando la inversión de xey, encontraremos lo siguiente ecuación:
x = y + 5
Ahora, aislemos la y:
- 5 + x = y
y = x - 5
Claramente, si f (x) suma 5 al valor de x, entonces su inversa f (x) - 1 hará lo contrario, es decir, x menos 5.
→ Ejemplo 2
Dada la función cuya ley de formación es f (x) = 2x - 3, ¿cuál será la ley de formación de su inversa?
→ Ejemplo 3
Calcule la ley de formación de la inversa de la función y = 2X.
Resolución:
y = 2X
Cambiando x por y:
x = 2y
aplicando logaritmo a ambos lados:
Iniciar sesión2x = registro22y
Iniciar sesión2x = ylog22
Iniciar sesión2x = y · 1
Iniciar sesión2x = y
y = log2X
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Gráfico de función inversa
La gráfica de la función inversa f -1 siempre será simétrico a la gráfica de la función f en relación a la recta y = x, lo que permite analizar el comportamiento de estos funciones, aunque no podemos describir la ley de formación de función inversa en algunos casos, debido a su complejidad.
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Ejercicios resueltos
1) Si f-1 es la función inversa de f, que va de R a R, cuya ley de formación f (x) = 2x - 10, el valor numérico de f -1(2) é:
a 1
b) 3
c) 6
d) -4
e) -6
Resolución:
→ 1er paso: encuentra la inversa de f.
→ 2do paso: reemplace 2 en lugar de x en f -1(X).
Alternativa C.
2) Sea f: A → B una función cuya ley de formación es f (x) = x² + 1, donde A {-2, -1, 0, 1, 2} y B = {1,2,5}, es correcto decir que:
a) la función es invertible, ya que es biyector.
b) la función no es invertible, ya que no es de inyección.
c) la función no es invertible, ya que no es sobreyectiva
d) la función no es invertible, ya que no es sobreyectiva ni inyectable.
e) la función no es invertible, ya que es biyector.
Resolución:
Para que la función sea invertible, debe ser biyectiva, es decir, sobreyectiva e inyectable. Primero analicemos si es sobreyectiva.
Para que la función sea sobreyectiva, todos los elementos de B deben tener una contraparte en A. Para saber esto, calculemos cada uno de sus valores numéricos.
f (-2) = (-2) ² +1 = 4 + 1 = 5
f (-1) = (-1) ² +1 = 1 + 1 = 2
f (0) = 0² +1 = 0 + 1 = 1
f (1) = 1² +1 = 1 + 1 = 2
f (2) = 2² +1 = 4 + 1 = 5
Tenga en cuenta que todos los elementos de B {1,2,5} tienen un correspondiente en A, lo que hace que la función sobreyectiva.
Para que esta función sea de inyección, los elementos distintos de A deben tener imágenes distintas en B, lo que no sucede. Tenga en cuenta que f (-2) = f (2) y también que f (-1) = f (1), lo que hace que la función no te inyectes. Como no es un inyector, tampoco es invertible; por lo tanto, alternativa b.
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-inversa.htm
