Teorema de descomposición polinomial

El teorema fundamental del álgebra para ecuaciones polinomiales garantiza que "polinomio de cada grado n≥ 1 tiene al menos una raíz compleja ". La demostración de este teorema fue hecha por el matemático Friedrich Gauss en 1799. A partir de él, podemos demostrar el teorema de descomposición polinomial, lo que garantiza que cualquier polinomio se pueda descomponer en factores de primer grado. Toma el siguiente polinomio p (x) de grado n ≥ 1 y el_No ≠ 0:

p (x) = a_No X^No + el_n-1 X^n-1 +… + El₁X¹ + el₀

Mediante el teorema fundamental del álgebra, podemos afirmar que este polinomio tiene al menos una raíz compleja. tu₁, tal que p (u₁) = 0. O Teorema de D'Alembert para la división de polinomios afirma que si p (u₁) = 0, luego p (x) es divisible por (x - u₁), resultando en un cociente qué₁(X), que es un polinomio de grados (n - 1), lo que nos lleva a decir:

p (x) = (x - u₁). qué₁(X)

A partir de esta ecuación, es necesario resaltar dos posibilidades:

Si u = 1 y qué₁(X) es un polinomio de grado (n - 1)

, luego qué₁(X) tiene grado 0. Como el coeficiente dominante de p (x) é La_No, qué₁(X) es un polinomio constante de tipo qué₁(X)=La_No. Entonces tenemos:

p (x) = (x - u₁). qué₁(X)
(x) = (x - u₁). La_No
p (x) = a_No . (x - u₁)

Pero u ≥ 2, luego el polinomio qué₁ tiene grado n - 1 ≥ 1 y se cumple el teorema fundamental del álgebra. Podemos decir que el polinomio qué₁ tiene al menos una raíz No₂, lo que nos lleva a decir que qué₁ Se puede escribir como:

qué₁(x) = (x - u₂). qué₂(X)

Pero como p (x) = (x - u₁). qué₁(X), podemos reescribirlo como:

p (x) = (x - u₁). (x - u₂). qué₂(X)

Repitiendo sucesivamente este proceso, tendremos:

p (x) = a_No. (x - u₁). (x - u₂)… (X - u_No)

Por lo tanto, podemos concluir que cada polinomio o ecuación polinomial p (x) = 0 de grado n≥ 1 poseer exactamente No raíces complejas.​

Ejemplo: Ser p (x) un polinomio de grado 5, de tal manera que sus raíces son – 1, 2, 3, – 2 y 4. Escriba este polinomio descompuesto en factores de 1er grado, considerando el coeficiente dominante igual a 1. Debe estar escrito en forma extendida:

Si – 1, 2, 3, – 2 y 4 son raíces del polinomio, por lo que el producto de las diferencias de X para cada una de estas raíces resulta en p (x):

p (x) = a_No. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)

Si el coeficiente dominante La_No = 1, tenemos:

p (x) = 1. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x² - x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x³ - 4x² + x + 6). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x⁴ - 2x³ - 7x² + 8x + 12). (X - 4)
p (x) = x⁵ - 6x⁴ + x³ + 36x² - 20x - 48

Por Amanda Gonçalves
Licenciada en Matemáticas

Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm