Multiplicación de matrices: cómo calcular, ejemplos

LA metromultiplicación de matrices se realiza a través de un algoritmo que requiere mucha atención. Para que exista el producto entre la matriz A y la matriz B, es necesario que el número de columnas da primero sede, En el caso A, es igual al número de líneas da lunes sede, en el caso B.

A partir de la multiplicación entre matrices, es posible entender qué es la matriz identidad, que es la elemento neutro de la multiplicación de matrices, y cuál es la matriz inversa de la matriz M, que es la matriz M^-1 cuyo producto de M por M^-1 es igual a la matriz de identidad. También es posible multiplicar una matriz por un número real; en este caso, multiplicamos cada uno de los términos del sede por número.

Lea también: ¿Qué es una matriz triangular?

condición de existencia

La multiplicación entre matrices es un proceso que exige mucha atención.

Para multiplicar dos matrices, primero es necesario verificar la condición de existencia. Para que exista el producto, el número de columnas en la primera matriz debe ser igual al número de filas en la segunda matriz.

Además, el resultado de la multiplicación es una matriz que tiene el mismo número de filas que la primera matriz y el mismo número de columnas que la segunda matriz.

Por ejemplo, el producto AB entre matrices A_3x2 y B_2x5 existe porque el número de columnas en A (2 columnas) es igual al número de filas en B (2 filas), y el resultado es la matriz AB_3x5. Ya producto entre matrices C_3x5 y matriz D_2x5 no existe, ya que C tiene 5 columnas y D tiene 3 filas.

¿Cómo calcular el producto entre dos matrices?

Para realizar la multiplicación de matrices, es necesario seguir algunos pasos. Haremos un ejemplo de la multiplicación de una matriz algebraica A_2x3 por matriz B_3x2

Sabemos que el producto existe, porque la matriz A tiene 3 columnas y la matriz B, 3 filas. Llamaremos C al resultado de la multiplicación A · B. Además, también sabemos que el resultado es una matriz C._2x2, porque la matriz A tiene 2 filas y la matriz B, 2 columnas.

Para calcular el producto de la matriz A_2x3 y matriz B_3X2, sigamos algunos pasos.

Primero encontraremos cada uno de los términos de la matriz C_2x2:

Para encontrar los términos, vamos siempre relacione las filas de la matriz A con las columnas de la matriz B:

C₁₁ → 1ra línea de A y 1ra columna de B
C₁₂ → 1ra línea de A y 2da columna de B
C₂₁ → 2da línea de A y 1ra columna de B
C₂₂ → 2da línea de A y 2da columna de B

Calculamos cada uno de los términos multiplicando los términos en la fila de A y los términos en la columna de B. Ahora debemos agregar estos productos, comenzando con C_11:

1ra línea de A
1ra columna de B

C₁₁ = La₁₁·B₁₁ + La₁₂·B₂₁+ La₁₃·B₃₁

calculador C₁₂:

1ra línea de A
2da columna de B

C₁₂ = La₁₁·B₁₂ + La₁₂·B₂₂+La₁₃·B₃₂

calculador C₂₁:

2da línea de A
1ra columna de B

C₂₁ = La₂₁·B₁₁ + La₂₂·B₂₁+La₂₃·B₃₁

calculando el término C₂₂:

2da línea de A
2da columna de B

C₂₂ = La₂₁·B₁₂ + La₂₂·B₂₂+La₂₃·B₃₂

Así, la matriz C está formada por los términos:

Ejemplo:

Calculemos la multiplicación entre las matrices A y B.

Sabemos que en A_2x2 y B_2x3, el número de columnas en la primera es igual al número de filas en el segundo, por lo que el producto existe. Entonces haremos C = A · B y sabemos que C_2x3.

Multiplicando, tenemos que:

Vea también: ¿Qué es una matriz transpuesta?

matriz de identidad

En la multiplicación entre matrices, hay algunos casos especiales, como la matriz identidad, que es el elemento neutro de multiplicación entre matrices.. La matriz identidad es una matriz cuadrada, es decir, el número de filas siempre es igual al número de columnas. Además, solo los términos de la diagonal son iguales a 1 en ella, y los demás términos son todos iguales a cero. Cuando multiplicamos una matriz M por la matriz identidad I_No, tenemos que:

M · I_No = M

Matrices de identidad del orden 2 al orden 5

Ejemplo:

¿Qué es la matriz inversa?

Dada una matriz M, la conocemos como una matriz inversa de M. la matriz M^-1cuyo producto M · M^-1 es igual à matriz de identidad I_No. Para que una matriz tenga una inversa, debe ser cuadrada y su determinante tiene que ser diferente de 0. Veamos ejemplos de matrices inversas:

Calculando el producto A · B, tenemos que:

Tenga en cuenta que el producto entre A y B genera la matriz I₂. Cuando esto sucede, decimos que B es la matriz inversa de A. Para obtener más información sobre este tipo de matriz, lea: Matriz inversa.

Multiplicación de matrices por un número real

A diferencia de la multiplicación entre matrices, también existe una multiplicación de matrices por uno. Número Real, que es una operación mucho más sencilla para encontrar la solución.

Dada una matriz M, multiplicar la matriz por un número real k es igual a la matriz kMETRO. Para encontrar esta matriz kM, suficiente multiplica todos los términos de la matriz por la constante k.

Ejemplo:

Si k = 5 y considerando la matriz M a continuación, encuentre la matriz 5M.

Multiplicar:

ejercicios resueltos

Pregunta 1 - (Unitau) Dadas las matrices A y B,

el valor del elemento c₁₁ de la matriz C = AB es:

A) 10.

B) 28.

C) 38.

D) 18.

E) 8.

Resolución

Alternativa A.

¿Cómo queremos el término c₁₁, multipliquemos los términos de la primera fila y A con los términos de la primera columna de B.

calcular c₁₁ = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 = 3 + 4 + 3 = 10

Pregunta 2 - (Enem 2012) Un alumno registró las calificaciones bimensuales de algunas de sus asignaturas en una tabla. Señaló que las entradas numéricas en la tabla formaban una matriz de 4 × 4 y que podía calcular los promedios anuales para estas disciplinas utilizando el producto de matrices. Todas las pruebas tenían el mismo peso y la tabla que obtuvo se muestra a continuación.

Para obtener estos promedios, multiplicó la matriz obtenida de la tabla por la matriz:

Resolución

Alternativa E.

El promedio no es más que la suma de elementos dividida por el número de elementos. Tenga en cuenta que hay 4 notas por línea, por lo que el promedio sería la suma de esas notas dividida por 4. Dividir por 4 es lo mismo que multiplicar por fracción ¼. Además, la matriz de calificaciones es una matriz de 4x4, por lo que tenemos que multiplicar por una matriz de 4x1, es decir, tiene 4 filas y 1 columna, para encontrar la matriz que tiene el promedio de las calificaciones.

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas

Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicacao-matrizes.htm