Matriz inversa: que es, como encontrar ejercicios

El concepto de matriz inversa se acerca mucho al concepto de inverso de un número. Recordemos que el inverso de un número No es el numero No^-1, donde el producto entre los dos es igual al elemento neutro de la multiplicación, es decir, el número 1. Ya la inversa de la matriz M es la matriz M^-1, donde el producto M · M^-1 es igual a la matriz identidad I_No, que no es más que el elemento neutro de la multiplicación de matrices.

Para que la matriz tenga una inversa, debe ser cuadrada y, además, su determinante debe ser diferente de cero, de lo contrario no habrá inversa. Para encontrar la matriz inversa, usamos la ecuación matricial.

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Para que una matriz tenga una inversa, debe ser cuadrada.

matriz de identidad

Para entender qué es la matriz inversa, primero es necesario conocer la matriz identidad. Conocemos como matriz identidad la matriz cuadrada I_No donde todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y los otros términos son iguales a 0.

LA La matriz de identidad es el elemento neutral de la multiplicación entre matrices., es decir, dado un sede M de orden n, el producto entre la matriz M y la matriz I_No es igual a la matriz M.

M · I_No = M

Cómo calcular la matriz inversa

Para encontrar la matriz inversa de M, es necesario resolver una ecuación matricial:

 M · M^-1 = Yo_No

Ejemplo

Encuentre la matriz inversa de M.

Como no conocemos la matriz inversa, representemos esta matriz algebraicamente:

Sabemos que el producto entre estas matrices tiene que ser igual a I₂:

Ahora resolvamos la ecuación matricial:

Es posible separar el problema en dos sistemas de ecuaciones. El primero usa la primera columna de la matriz M · M^-1 y la primera columna de la matriz de identidad. Entonces, tenemos que:

Para resolver el sistema, aislemos el₂₁ en la ecuación II y sustituir en la ecuación I.

Sustituyendo en la ecuación I, tenemos que:

¿Cómo encontramos el valor de un₁₁, luego encontraremos el valor de un₂₁:

Conociendo el valor de un₂₁ y el₁₁, ahora encontraremos el valor de los otros términos configurando el segundo sistema:

aislar el₂₂ en la ecuación III, tenemos que:

Tercero₁₂ + 1º₂₂ = 0

La₂₂ = - 3er₁₂

Sustituyendo en la ecuación IV:

Quinto₁₂ + 2do₂₂ =1

Quinto₁₂ + 2 · (- 3er₁₂) = 1

Quinto₁₂ - sexto₁₂ = 1

- a₁₂ = 1 ( – 1)

La₁₂ = – 1

Conociendo el valor de un₁₂, encontraremos el valor de un₂₂ :

La₂₂ = - 3er₁₂

La₂₂ = – 3 · ( – 1)

La₂₂ = 3

Ahora que conocemos todos los términos de la matriz M^-1, es posible representarlo:

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Propiedades de la matriz inversa

Hay propiedades que resultan de definir una matriz inversa.

• 1ra propiedad: la inversa de la matriz M^-1 es igual a la matriz M. La inversa de una matriz inversa es siempre la propia matriz, es decir, (M^-1)^-1 = M, porque sabemos que M^-1 · M = yo_No, por lo tanto M^-1 es la inversa de M y también M es la inversa de M^-1.
• Segunda propiedad: la inversa de una matriz de identidad es en sí misma: I^-1 = I, porque el producto de la matriz identidad por sí mismo da como resultado la matriz identidad, es decir, I_No · I_No = Yo_No.
• 3ra propiedad: el inverso de producto de dos matriceseres tú es igual al producto de las inversas:

(M × H)^-1 = M^-1 · A^-1.

• Cuarta propiedad: una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es diferente de 0, es decir, det (M) ≠ 0.

Ejercicios resueltos

1) Dadas las matrices A y B, sabiendo que son inversas, entonces el valor de x + y es:

a) 2.

b) 1.

c) 0.

d) -1.

e) -2.

Resolución:

Alternativa d.

Construyendo la ecuación:

A · B = I 

Por la segunda columna, igualando los términos, tenemos que:

3x + 5y = 0 → (I)

2x + 4y = 1 → (II)

Aislando x en I:

Reemplazando en ecuación II, tenemos que:

Conociendo el valor de y, encontraremos el valor de x:

Ahora calculemos x + y:

Pregunta 2

Una matriz solo tiene inversa cuando su determinante es diferente de 0. Mirando la matriz a continuación, ¿cuáles son los valores de x que hacen que la matriz no admita la inversa?

a) 0 y 1.

b) 1 y 2.

c) 2 y - 1.

d) 3 y 0.

e) - 3 y - 2.

Resolución:

Alternativa b.

Calculando el determinante de A, queremos valores donde det (A) = 0.

det (A) = x · (x - 3) - 1 · (- 2)

det (A) = x² - 3x + 2

det (A) = x² - 3x + 2 = 0

resolviendo el Ecuación de segundo grado, tenemos que:

• a = 1
• b = - 3
• c = 2

Δ = b² - 4ac

Δ = (– 3) ² – 4·1·2

Δ= 9 – 8

Δ = 1

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas

Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm