El trinomio cuadrado perfecto es el tercer caso de factorización de expresión algebraica. Solo se puede usar cuando la expresión algebraica es un trinomio (polinomio con tres monomios) y este trinomio forma un cuadrado perfecto.
que es trinomio
Trinomial es un polinomio que tiene tres monomios sin términos similares, ver ejemplos:
3 veces2 + 2x + 1
20x3 + 5x - 2x2
2ab + 5b + 3c
No todos los trinomios anteriores se pueden factorizar utilizando el cuadrado perfecto.
que es el cuadrado perfecto
Para comprender mejor qué es el cuadrado perfecto, consulte:
¿Podemos considerar que un número es un cuadrado perfecto? Sí, basta con que este número sea el resultado de otro número al cuadrado, por ejemplo: 25 es un cuadrado perfecto, porque 52 = 25.
Ahora deberíamos aplicar esto a una expresión algebraica, mira el cuadrado de abajo con lados x + y, el valor de ese lado es una expresión algebraica.
Para calcular el área de este cuadrado podemos seguir dos caminos diferentes:
1er camino: la fórmula para calcular el
LA1 = (x + y)2
El resultado de esta área A1 = (x + y)2 es un cuadrado perfecto.
2do camino: este cuadrado se dividió en cuatro rectángulos donde cada uno tiene su propia área, por lo que la suma de todas estas áreas es el área total del cuadrado más grande, así:
LA2 = x2 + xy + xy + y2, como xy y xy son similares, podemos agregarlos
LA2 = x2 + 2xy + y2
El resultado del área A2 = x2 + 2xy + y2 es un trinomio.
Las dos áreas encontradas representan el área del mismo cuadrado, entonces:
LA1 = A2
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Entonces el trinomio x2 + 2xy + y2 tener como cuadrado perfecto (x + y)2.
Cuando tenemos una expresión algebraica y es un trinomio del cuadrado perfecto, su forma factorizada se representa como un cuadrado perfecto, ver:
el trinomio x2 + 2xy + y2 factorizado es (x + y)2.
Cómo identificar un trinomio cuadrado perfecto
Como ya se dijo, no todos los trinomios se pueden representar en forma de cuadrado perfecto. Ahora bien, cuando se da un trinomio, ¿cómo vamos a identificar si es un cuadrado perfecto o no?
Para que un trinomio sea un cuadrado perfecto, debe tener algunas características:
• Dos términos (monomías) del trinomio deben ser cuadrados.
• Un término (monomio) del trinomio debe ser el doble de las raíces cuadradas de los otros dos términos.
Vea un ejemplo:
Vea si el trinomio 16x2 + 8x + 1 es un cuadrado perfecto, así que sigue las reglas anteriores:
Dos miembros del trinomio tienen raíces cuadradas y el término medio es el doble, por lo que el trinomio 16x2 + 8x + 1 es un cuadrado perfecto.
Entonces la forma factorizada del trinomio es 16x2 + 8x + 1 es (4x + 1)2, ya que es la suma de las raíces cuadradas.
Vea algunos ejemplos:
Ejemplo 1:
Dado el trinomio m2 - m n + n2, debemos eliminar los términos m2 y no2, las raíces serán myn, el doble de estas raíces serán 2. metro. n que es diferente del término m n (términos intermedios), por lo que este trinomio no es un cuadrado perfecto.
Ejemplo 2:
Dado el trinomio 4x2 - 8xy + y2, debemos tomar las raíces de los términos 4x2 y y2, las raíces serán respectivamente 2x e y. El doble de estas raíces debe ser 2. 2x. y = 4xy, que es diferente del término 8xy, por lo que este trinomio no se puede factorizar utilizando el cuadrado perfecto.
Ejemplo 3:
Dado el trinomio 1 + 92 - 6º.
Debemos, antes de usar las reglas del cuadrado perfecto, colocar el trinomio en orden ascendente de exponentes, así:
Noveno2 - 6to + 1.
Ahora, sacamos la raíz de los términos 9a2 y 1, que serán respectivamente 3a y 1. El doble de estas raíces será 2. 3er. 1 = 6a, que es igual al término medio (6a), por lo que concluimos que el trinomio es cuadrado perfecto y su forma factorizada es (3a - 1)2.
por Danielle de Miranda
Licenciada en Metemática
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/trinomio-quadrado-perfeito.htm