Suma de los términos de una progresión aritmética

Uno progresión aritmética (PA) es un secuencia numérico en el que cada término es la suma del anterior por una constante, llamada razón. Ellos existen expresiones matemáticas para determinar el término de un PA y calcular la suma de sus No primeros términos.

La fórmula utilizada para calcular el suma de términos de un PA finito o la suma de los No Los primeros términos de un PA son los siguientes:

s_No = a₁ + el_No)
2

* n es el número de términos de BP; La₁ es el primer término, y el_No es lo ultimo.

Origen de la suma de los términos del PA

Se dice que el matemático alemán Carl Friederich Gauss, con aproximadamente 10 años de edad, fue castigado con su clase en la escuela. El maestro les dijo a los estudiantes que sumen todos los números que aparecen en el secuencia de 1 a 100.

Gauss no solo fue el primero en terminar en un período de tiempo muy corto, también fue el único en obtener el resultado correcto (5050). Además, no mostró ningún cálculo. Lo que hizo fue reparar la siguiente propiedad:

La suma de dos términos equidistantes de los extremos de un PA finito es igual a la suma de los extremos.

No hubo conocimiento sobre SARTÉN en ese momento, pero Gauss vio la lista de números y se dio cuenta de que agregar el primero al último daría como resultado 101; sumando el segundo al penúltimo, el resultado también sería 101 y así sucesivamente. Como la suma de todos los pares de términos equidistante de los extremos llegó a 101, Gauss solo tuvo que multiplicar ese número por la mitad de los términos disponibles para encontrar el resultado 5050.

Tenga en cuenta que desde el número 1 hasta el número 100, hay exactamente 100 números. Gauss se dio cuenta de que si los sumaba de dos en dos, obtendría 50 resultados iguales a 101. Por lo tanto, esta multiplicación se realizó por la mitad de los términos totales.

Demostración de la suma de términos de un PA

Esta hazaña dio lugar a la expresión utilizada para calcular el la suma de No primeros términos de un PA. La táctica utilizada para llegar a esta expresión es la siguiente:

dado uno SARTÉN any, agregaremos los primeros n términos. Matemáticamente, tendremos:

s_No = el₁ + el₂ + el₃ +… + El_{n - 2} + el_{n - 1} + el_No

Justo debajo de esto suma de términos, escribiremos otro, con los mismos términos que el anterior, pero en sentido decreciente. Tenga en cuenta que la suma de términos en el primero es igual a la suma de términos en el segundo. Por lo tanto, ambos fueron equiparados con S_No.

s_No = el₁ + el₂ + el₃ +… + El_{n - 2} + el_{n - 1} + el_No

s_No = el_No + el_{n - 1} + el_{n - 2} +… + El₃ + el₂ + el₁

Tenga en cuenta que estas dos expresiones se obtuvieron de un solo SARTÉN y que los términos equidistantes estén alineados verticalmente. Por tanto, podemos sumar las expresiones para obtener:

s_No = el₁ + el₂ + el₃ +… + El_{n - 2} + el_{n - 1} + el_No

+ s_No = el_No + el_{n - 1} + el_{n - 2} +… + El₃ + el₂ + el₁

2S_No = (el₁ + el_No) + (a₂ + el_{n - 1}) +… + (A_{n - 1} + el₂) + (a_No + el₁)

Recuerde que la suma de los términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos. Por tanto, cada paréntesis se puede sustituir por la suma de los extremos, como haremos a continuación:

2S_No = (el₁ + el_No) + (a₁ + el_No) +... + (el₁ + el_No) + (a₁ + el_No)

La idea de Gauss era agregar los términos equidistantes de una secuencia. Entonces obtuvo la mitad de los términos de SARTÉN en resultados 101. Lo hicimos de modo que cada término del BP inicial se sumara a su valor equidistante, conservando su número de términos. Por lo tanto, como el PA tenía n términos, podemos cambiar la suma, en la expresión anterior, por una multiplicación y resolver el ecuación para encontrar:

2S_No = (el₁ + el_No) + (a₁ + el_No) +... + (el₁ + el_No) + (a₁ + el_No)

2S_No = n (una₁ + el_No)

s_No = a₁ + el_No)
2

Ésta es exactamente la fórmula utilizada para sumar el No primeros términos de un PA.

Ejemplo

Dado P.A (1, 2, 3, 4), determine la suma de sus primeros 100 términos.

Solución:

Necesitaremos encontrar el término a₁₀₀. Para esto, usaremos el fórmula de término general de un PA:

La_No = el₁ + (n - 1) r

La₁₀₀ = 1 + (100 – 1)1

La₁₀₀ = 1 + 99

La₁₀₀ = 100

Ahora la fórmula para sumar los primeros n términos:

s_No = a₁ + el_No)
2

s₁₀₀ = 100(1 + 100)
2

s₁₀₀ = 100(101)
2

s₁₀₀ = 10100
2

s₁₀₀ = 5050

Por Luiz Paulo Moreira
Licenciada en Matemáticas

Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-progressao-aritmetica.htm