LA matemática financiera es una de las áreas de las matemáticas encargadas de estudiar fenómenos relacionados con el mundo financiero. Además, estudiar sus conceptos es muy importante, ya que, en nuestra vida diaria, son cada vez más más regalos, por ejemplo, cuando recibimos un descuento al comprar algo en efectivo o un extra al comprar algo cuotas.
Estudiar matemáticas financieras requiere conocimientos previos de porcentaje, veremos que todos los conceptos se basan en este tema.
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¿Para qué sirven las matemáticas financieras?
La matemática financiera se usa a diario, por ejemplo, cuando vamos a hacer una compra en efectivo y el vendedor ofrece un descuento 5% sobre el valor del producto, o cuando optemos por comprar un producto a plazos y, en este proceso, un Tasa de interés se factura al comprador a lo largo del tiempo.
Un ejemplo de la importancia de comprender los conceptos de las matemáticas financieras se llama límite de descubierto
. Al abrir una cuenta en un banco determinado, se ofrece dinero “extra”, por ejemplo, para emergencias. Sin embargo, al usar este límite o parte de él, se cobra una tarifa a pagar más adelante, además del dinero tomado. Esta tasa se llama interés y, al comprender mejor estos conceptos, podemos diseñar una mejor estrategia para administrar nuestras finanzas.Ejemplo 1
Una persona necesita 100 reales para terminar de pagar sus facturas mensuales, sin embargo, todo su salario ya se ha gastado en las otras facturas. En el análisis, esta persona encontró que tenía dos opciones.
Opción 1 - Utilizar el límite de descubierto que ofrece el banco, a una tasa de 0,2% por día, a pagar en un mes.
opcion 2 - Obtenga los 100 reales de un amigo, a una tasa del 2% mensual, a pagar durante dos meses.
Utilizando solo el conocimiento del porcentaje, analicemos cuál es la mejor opción.
analizando el opción 1, tenga en cuenta que la tasa de 0.2% se cobra por día, es decir, se agrega 0.2% del monto del préstamo cada día, así:
Cómo se debe pagar el préstamo en un mes, y considerando el mes con 30 días, el monto de interés a pagar es:
0,2 ·30
6
Así, podemos concluir que el monto a pagar al final de un mes es:
100 + 6= 106 reales
100 → Monto prestado por el banco
6 → Importe de interés
Ahora analizando el opcion 2, la tarifa que se cobra es del 2% mensual y debe pagarse en un plazo de dos meses, es decir, cada mes se suma a la deuda el 2% del monto prestado, así:
Tenga en cuenta que se deben agregar 2 reales por mes al monto de la deuda:
2 · 2 = 4
Por tanto, el importe a pagar al final del período es:
100+ 4 = 104 reales
100 → Cantidad prestada por el amigo
4 → Importe de interés
Entonces, podemos concluir que la mejor opción es llevarse el dinero con el amigo. Esta es una simple e importante aplicación de las matemáticas financierasPor supuesto que hay problemas, herramientas y conceptos más sofisticados, pero como todo lo demás en la vida, antes de comprender la parte compleja, es necesario comprender los conceptos básicos.
Fundamentos de las matemáticas financieras
Los principales conceptos de las matemáticas financieras implican conocimientos previos sobre porcentajes. A continuación, veremos conceptos como suma, descuento, interés simple e interés compuesto.
adición
La idea de la adición está asociada con agregar o agregar parte del valor a su valor original, es decir, le sumamos un porcentaje de cierto valor. Vea el ejemplo:
Ejemplo 2
Un producto costaba 35 reales, con el aumento del dólar, se incrementó en un 30%. Determine el nuevo valor de este producto.
A menudo, cuando vamos a hacer los cálculos relacionados con la suma, se realizan incorrectamente al escribir:
35 + 30%
El porcentaje representa parte de algo, por lo que para que esta cuenta sea correcta, primero debemos calcular el 30% del valor inicial, en este caso 35. Así:
35 + 30% de 35
Resolviendo primero el porcentaje y luego sumando los valores, tendremos que:
Por tanto, con la suma, el valor del producto será de 45,5 reales (cuarenta y cinco reales con cincuenta centavos).
En general, podemos deducir una fórmula para la adición. Considere un valor de xy que aumenta en un p%. Según lo que acabamos de definir, podemos escribir esta adición de la siguiente manera:
x + p% de x
Desarrollando esta expresión tendremos que:
Rehagamos el ejemplo 2 usando la fórmula anterior. Tenga en cuenta que x = 35 y que el aumento fue del 30%, es decir, p = 30%.
35 · (1 + 0,01 · 30)
35 · (1 + 0,3)
35 · 1,3
45,5
Tenga en cuenta que se obtuvo el mismo valor y es una opción utilizar dicha fórmula.
Vea también: Cantidades inversamente proporcionales
Descuento
La idea de descontar es similar a la idea de sumar, la única diferencia es que en lugar de sumar, deberíamos sustraer un porcentaje del monto original.
Ejemplo 3 - Un producto que cuesta 60 reales, cuando se compra al contado, tiene un 30% de descuento. Determine el nuevo valor de este producto.
De forma similar a la adición, tendremos que:
De manera análoga a la suma, podemos deducir un fórmula de descuento. Considere un valor xy que sufre un descuento del p%. Según lo que definimos, podemos escribir esta adición de la siguiente manera:
x - p% de x
Desarrollando esta expresión tendremos que:
Rehagamos el ejemplo 3 usando la fórmula anterior, tenga en cuenta que x = 60 y el aumento fue del 30%, es decir, p = 30%.
x · (1 - 0.01p)
60 · (1 – 0,01 · 30)
60 · (1 – 0,3)
60 · 0,7
42
Mira que, usando la fórmula, obtuvimos el mismo resultado, por lo que en el descuento también tenemos dos opciones para determinarlo.
interés simple
La idea detrás del interés simple también es similar a la idea de la suma, la diferencia entre ellos viene dada por el período en el que se calculan. Mientras que la tasa de recargo se aplica una vez, la tasa de interés simple es calculado en un intervalo de tiempo. Podemos calcular el interés simple de un capital C dado, aplicado a una tasa dada en un régimen de interés simple (i), en un período de tiempo t dado, por fórmula:
J = C · i · t
El monto pagado al final de esta inversión debe estar dado por el dinero aplicado más el monto de los intereses y se denomina monto (M). La cantidad viene dada por la expresión:
M = C + J
M = C + C · i · t
M = C (1 + eso)
La única preocupación que deberíamos tener con respecto a los problemas que involucran un interés simple es con unidades de medida de velocidad y tiempo, siempre deben estar en unidades iguales.
Ejemplo 4
Marta quiere invertir R $ 6000 en una empresa que promete generar ganancias del 20% anual bajo un régimen de interés simple. El contrato realizado por Marta establece que ella solo puede retirar el dinero después de seis meses, determinar cuál fue el rendimiento de su dinero al final de ese período.
Observando el enunciado, vea que el capital es igual a 6000, entonces tenemos C = 6000. La tasa de interés es del 20% anual y el dinero se invertirá durante seis meses. Tenga en cuenta que la tasa se dio en el año y el tiempo en meses, y sabemos que la unidad de medida para ambos debe ser la misma. Busquemos la tarifa mensual, consulte:
Sabemos que la tasa es del 20% anual, ya que un año tiene 12 meses, por lo que la tasa mensual será:
20%: 12
1,66% por mes
0.016 por mes
Reemplazando estos datos en la fórmula, tenemos que:
J = C · i · t
J = 6000 · 0,016 · 6
J = 96 · 6
J = 576 reales
Por lo tanto, el monto a retirar al final del semestre es de 576 reales, y el monto es:
M = 6000 + 576
M = 6576 reales
Lea mas: Entender el uso de un Ccalculadora Ffinanciero
Juros compuestos
En interés simple, el valor de la tasa de interés siempre se calcula sobre el capital inicial, la diferencia entre estos dos sistemas (interés simple y compuesto) es precisamente en este punto, es decir, en la forma en que la tasa es calculado. En interés compuesto, la tasa de interés siempre se calcula sobre el capital del mes anterior, esto hace que el interés aumente exponencialmente su valor. LA fórmula Para calcular el interés en el sistema de amortización de interés compuesto viene dado por:
M = C · (1 + i)t
En que METRO es la cantidad acumulada, C es el valor del capital inicial, I es la tasa de interés expresada como porcentaje, y t es el período en el que se invirtió el capital en el sistema. Al igual que con el interés simple, en el sistema de interés compuesto, la tasa y el tiempo deben estar en la misma unidad.
Ejemplo 5
Calcula la cantidad de la cantidad que cobraría Marta al final de los seis meses aplicando sus 6000 reales a una tasa de interés del 20% anual en el sistema de interés compuesto.
(Dado: 1.20,5 ≈ 1,095)
Tenga en cuenta que los datos son los mismos que en el ejemplo 4, por lo que tenemos que:
C = 6000
i = 0,2 por año
t = 0,5 años
Reemplazando los datos en la fórmula de interés compuesto, tenemos que:
M = 6000 · (1 + 0,2)0,5
M = 6000 · (1,2)0,5
M = 6000 · 1,095
M = 6572,67 reales
Por tanto, el monto a retirar por Marta en el sistema de interés simple es de 6572,67 reales. Tenga en cuenta que la cantidad en el sistema de interés compuesto es mayor que en el sistema de interés simple, y esto ocurre en todos los casos. Para comprender mejor cómo se calcula esta tasa, visite: Tarifa Copuestousted.
Ejercicios resueltos
Pregunta 1 - (FGV - SP) Un capital aplicado a interés simple, a una tasa del 2,5% mensual, se triplica por:
a) 75 meses
b) 80 meses
c) 85 meses
d) 90 meses
e) 95 meses
Resolución
Alternativa B.
Debemos encontrar el tiempo en que el interés es igual a 2C, ya que, con el interés de esta forma junto con el capital inicialmente aplicado de C, tendremos el monto de 3C (el triple del capital). Así:
J = 2C; C = C; i = 2,5% por mes; t =?
J = C · i · t
2C = C · 0,025 · t
Así, el tiempo para triplicar este capital es de 80 meses.
Nota: 80 meses equivalen a 6,6 años.
Pregunta 2 - Un commodity, luego de sufrir un incremento del 24%, cambió su precio a 1041,60 reales. Determine la cantidad antes de agregar.
Resolución
Podemos usar la fórmula de suma general para determinar el valor de la mercancía antes de la suma.
x · (1 + 0.01p)
En la fórmula, el valor x es lo que estamos buscando y p es el valor de la suma, y esta expresión nos da el valor del producto después de la suma, por lo tanto:
1041.60 = x · (1 + 0.01p)
1041.60 = x · (1 + 0.01 · 24)
1041,60 = x · (1 + 0,24)
1041,60 = x · 1,24
Mira que tenemos una ecuación de primer grado, para resolverla debemos aislar la incógnita x, dividiendo ambos lados de la igualdad por 1.24, o, simplemente, pasar la división de 1.24. Así:
Por tanto, el valor de la mercancía antes de la adición era de 840 reales.
por Robson Luiz
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matematica-financeira.htm