Teorema de las raíces racionales

Considera el ecuación polinomial debajo de donde todos los coeficientes La_Noson enteros:

La_NoX^No + el_n-1X^n-1 + el_n-2X^n-2 +… + El₂X² + el₁x + a₀ = 0

O Teorema de las raíces racionales garantiza que si esta ecuación admite el número racional ^PAG/_qué como raíz (con PAG, qué  y mdc (p, q) = 1), luego La₀ es divisible por PAG y La_No es divisible por qué.

Comentarios:

1º) El teorema de raíces racionales no garantiza que la ecuación polinomial tenga raíces, pero si existen, el teorema nos permite identificar todas las raíces de la ecuación;

2º) Si La_No= 1 y los otros coeficientes son todos números enteros, la ecuación solo tiene raíces enteras.

3°) Si q = 1 y hay raíces racionales, estos son un todo y divisores de La₀.

Aplicación del teorema de las raíces racionales:

Usemos el teorema para encontrar todas las raíces de la ecuación polinomial. 2x⁴ + 5 veces³ - 11 veces² - 20x + 12 = 0.

Primero, identifiquemos las posibles raíces racionales de esta ecuación, es decir, las raíces de la forma ^PAG/_qué. Según el teorema,

La₀ es divisible por PAG; de esta manera, como La₀ = 12, entonces los posibles valores de PAG son {± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12}. Análogamente, tenemos que La_No es divisible por qué y La_No = 2, luego qué puede tener los siguientes valores: {± 1, ± 2}. Por lo tanto, dividiendo los valores de PAG por qué, obtenemos valores posibles ^PAG/_qué raíces de la ecuación: {+ ½, - ½, +1, - 1, +³/_{2, –}³/₂, +2, –2, +3, –3, +4, –4, +6, –6, +12, –12}.

Para confirmar que los valores que encontramos son realmente la raíz de la ecuación polinomial, sustituyamos cada valor en lugar del X de la ecuación. A través de cálculo algebraico, si el polinomio da como resultado cero, por lo que el número sustituido es en realidad la raíz de la ecuación.

2x⁴ + 5 veces³ - 11 veces² - 20x + 12 = 0

Para x = + ½

2.(½)⁴ + 5.(½)³ – 11.(½)² – 20.(½) + 12 = 0

Para x = - ½

2.(– ½)⁴ + 5.(– ½)³ – 11.(– ½)² – 20.(– ½) + 12 = ⁷⁵/₄

Para x = + 1

2.1⁴ + 5.1³ – 11.1² – 20.1 + 12 = – 12

Para x = - 1

2.(– 1)⁴ + 5.(– 1)³ – 11.(– 1)² – 20.(– 1) + 12 = 18

Para x = + ³/₂

2.(³/₂)⁴ + 5.(³/₂)³ – 11.(³/₂)² – 20.(³/₂) + 12 = – ⁶³/₄

Para x = - ³/₂

2.(– ³/₂)⁴ + 5.(– ³/₂)³ – 11.(– ³/₂)² – 20.(– ³/₂) + 12 = ²¹/₂

Para x = + 2

2.2⁴ + 5.2³ – 11.2² – 20.2 + 12 = 0

Para x = - 2

2.(– 2)⁴ + 5.(– 2)³ – 11.(– 2)² – 20.(– 2) + 12 = 0

Para x = + 3

2.3⁴ + 5.3³ – 11.3² – 20.3 + 12 = 150

Para x = - 3

2.(– 3)⁴ + 5.(– 3)³ – 11.(– 3)² – 20.(– 3) + 12 = 0

Para x = + 4

2.4⁴ + 5.4³ – 11.4² – 20.4 + 12 = 588

Para x = - 4

2.(– 4)⁴ + 5.(– 4)³ – 11.(– 4)² – 20.(– 4) + 12 = 108

Para x = + 6

2.6⁴ + 5.6³ – 11.6² – 20.6 + 12 = 3168

Para x = - 6

2.(– 6)⁴ + 5.(– 6)³ – 11.(– 6)² – 20.(– 6) + 12 = 1248

Para x = + 12

2.12⁴ + 5.12³ – 11.12² – 20.12 + 12 = 48300

Para x = - 12

2.(– 12)⁴ + 5.(– 12)³ – 11.(– 12)² – 20.(– 12) + 12 = 31500

Por lo tanto, las raíces de la ecuación polinomial 2x⁴ + 5 veces³ - 11 veces² - 20x + 12 = 0 ellos son {– 3, – 2, ½, 2}. A través de teorema de descomposición polinomial, podríamos escribir esta ecuación como (x + 3). (x + 2). (x - ½). (x - 2)= 0.

Por Amanda Gonçalves
Licenciada en Matemáticas

Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-das-raizes-racionais.htm